Решите неравенство ||x-3|-2| ≤ 1.

Краткий ответ: \[ x\in[0;2]\cup[4;6]. \]

Как решать

1. Обозначим \(t=|x-3|\). Тогда неравенство примет вид \[ |t-2|\le 1. \] Это означает: \[ -1\le t-2\le 1. \] Прибавим 2 ко всем частям: \[ 1\le t\le 3. \]

2. Возвращаемся к \(x\): \[ 1\le |x-3|\le 3. \] То есть одновременно должны выполняться два условия: \[ |x-3|\le 3 \quad\text{и}\quad |x-3|\ge 1. \]

3. Решаем первое: \[ -3\le x-3\le 3 \] \[ 0\le x\le 6. \]

4. Решаем второе: \[ x-3\le -1 \quad\text{или}\quad x-3\ge 1, \] \[ x\le 2 \quad\text{или}\quad x\ge 4. \]

5. Берём пересечение: \[ [0;6]\cap\Big((-\infty;2]\cup[4;+\infty)\Big) = [0;2]\cup[4;6]. \]

Проверка. При \(x=3\) левая часть равна \[ \big||3-3|-2\big|=|0-2|=2>1, \] поэтому точка \(3\) не входит. На границах \(x=0,2,4,6\) левая часть равна \(1\), значит, эти концы входят в ответ.