Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Разобрал вариант №7. Ниже — ответы и ключевые шаги. По №5 в конце нужен один уточняющий вопрос: формула на фото читается неоднозначно.

1. \(A\cdot B^{T}+C\)

Ответ: \((4,\ -3,\ 2,\ 2)\).

У \(A=(1\ 1\ 1\ 1)\) все элементы равны 1, поэтому \(j\)-я компонента произведения \(A\cdot B^{T}\) — это просто сумма элементов \(j\)-й строки \(B\): \[ 5+2-3-3=1,\quad -7-2+4+2=-3,\quad -1+2+1+1=3,\quad 2-2-3+4=1 . \] Значит \(A\cdot B^{T}=(1,\,-3,\,3,\,1)\), и после прибавления \(C=(3,\,0,\,-1,\,1)\): \[ (1+3,\ -3+0,\ 3-1,\ 1+1)=(4,\,-3,\,2,\,2). \]

2. Система по Крамеру

Ответ: \(x_{1}=-1,\ x_{2}=0,\ x_{3}=1\).

\[ \Delta=\begin{vmatrix}2&-4&3\\1&-2&4\\3&-1&5\end{vmatrix}=-25, \] \[ \Delta_{1}=\begin{vmatrix}1&-4&3\\3&-2&4\\2&-1&5\end{vmatrix}=25,\quad \Delta_{2}=\begin{vmatrix}2&1&3\\1&3&4\\3&2&5\end{vmatrix}=0,\quad \Delta_{3}=\begin{vmatrix}2&-4&1\\1&-2&3\\3&-1&2\end{vmatrix}=-25 . \] Тогда \(x_{i}=\Delta_{i}/\Delta\): \(x_{1}=-1,\ x_{2}=0,\ x_{3}=1\). Проверка по 1-му уравнению: \(2(-1)-0+3=1\) — верно.

3. Коллинеарность \(\vec c_{1}=2\vec a+4\vec b\), \(\vec c_{2}=3\vec b-\vec a\)

Ответ: нет, не коллинеарны.

\(\vec a=(1,-2,3)\), \(\vec b=(3,0,-1)\), значит \[ \vec c_{1}=(14,-4,2),\qquad \vec c_{2}=(8,2,-6). \] Пропорции не совпадают: \(14/8\neq -4/2\). Тот же вывод без вычислений: если \(\vec c_{2}=\lambda\vec c_{1}\), то по \(\vec a\) нужно \(-1=2\lambda\), по \(\vec b\) нужно \(3=4\lambda\) — противоречие.

4. Пределы без Лопиталя

а) Функция — отношение многочленов, в точке \(x=2\) знаменатель не нулевой, поэтому просто подставляем: \[ \frac{2-2\cdot4+5\cdot16}{2+3\cdot4+16}=\frac{2-8+80}{2+12+16}=\frac{74}{30}=\frac{37}{15}. \] (Если в задании там всё же \(x\to\infty\), ответ был бы \(5\) — отношение старших коэффициентов.)

б) Домножаем на сопряжённое: \[ \frac{\sqrt{1+3x^{2}}-1}{x^{2}+x^{3}} =\frac{3x^{2}}{x^{2}(1+x)\left(\sqrt{1+3x^{2}}+1\right)} =\frac{3}{(1+x)\left(\sqrt{1+3x^{2}}+1\right)}\to\frac{3}{1\cdot 2}=\frac{3}{2}. \]

6. Производные

а) \(y=\sqrt{\dfrac{1+x^{2}}{1-x^{2}}}\). Внутренняя дробь: \[ \left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)'=\frac{2x(1-x^{2})+(1+x^{2})\cdot 2x}{(1-x^{2})^{2}}=\frac{4x}{(1-x^{2})^{2}} . \] Тогда \[ y'=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}}}\cdot\frac{4x}{(1-x^{2})^{2}} =\frac{2x}{(1-x^{2})\sqrt{1-x^{4}}} . \]

б) \(y=\tfrac12\operatorname{tg}^{2}x+\ln\cos x\): \[ y'=\operatorname{tg}x\cdot\frac{1}{\cos^{2}x}-\operatorname{tg}x =\operatorname{tg}x\left(\frac{1}{\cos^{2}x}-1\right)=\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{tg}^{2}x=\operatorname{tg}^{3}x . \]

7. Точки перегиба \(y=\tfrac14x^{4}-2x^{3}+1\)

Ответ: \((0;\,1)\) и \((4;\,-63)\).

\[ y'=x^{3}-6x^{2},\qquad y''=3x^{2}-12x=3x(x-4). \] \(y''=0\) при \(x=0\) и \(x=4\); при переходе через обе точки вторая производная меняет знак (\(+\to-\to+\)), значит обе точки — перегиба. Значения функции: \(y(0)=1\), \(y(4)=64-128+1=-63\).

5. Нужно уточнение

В №5 не разобрать степень: это \(f(x)=\dfrac{1}{4^{1/(x-1)}-1}\) или \(f(x)=4^{\,1/(x-1)-1}\)? При первом прочтении обе точки \(x_{1}=4\) и \(x_{2}=6\) оказались бы точками непрерывности, а разрыв был бы только при \(x=1\), что плохо согласуется с формулировкой задания.

Пришли, пожалуйста, более крупный фрагмент условия №5 — сразу решу пункты а)–в) с пределами слева и справа и эскизом графика.