Решите неравенство

Краткий ответ: \[ x\in(-\infty;-2)\cup\left(-2;-\frac12\right). \]

Как решать

1. ОДЗ: \(x\ne -2\), потому что знаменатель не может быть равен нулю.

2. Модуль больше \(1\) означает, что квадрат выражения больше \(1\): \[ \left|\frac{x-1}{x+2}\right|>1 \iff \frac{(x-1)^2}{(x+2)^2}>1. \] Возводить в квадрат можно, потому что обе части неотрицательны.

3. Так как \(x\ne -2\), то \((x+2)^2>0\). Умножаем обе части на положительное выражение: \[ (x-1)^2>(x+2)^2. \]

4. Переносим всё влево и применяем разность квадратов: \[ (x-1)^2-(x+2)^2>0, \] \[ \bigl((x-1)-(x+2)\bigr)\bigl((x-1)+(x+2)\bigr)>0, \] \[ (-3)(2x+1)>0. \]

5. Делим на \(-3\), при этом знак неравенства меняется: \[ 2x+1<0, \] \[ x<-\frac12. \]

С учётом \(x\ne -2\): \[ x\in(-\infty;-2)\cup\left(-2;-\frac12\right). \]

Проверка

• При \(x=-3\): \(\left|\frac{-4}{-1}\right|=4>1\) — подходит.
• При \(x=-1\): \(\left|\frac{-2}{1}\right|=2>1\) — подходит.
• При \(x=0\): \(\left|\frac{-1}{2}\right|=0{,}5<1\) — не подходит.
• При \(x=-\frac12\): значение равно \(1\), а нужно строго больше \(1\), поэтому граница не входит.
• \(x=-2\) не входит в ОДЗ.

Принцип: \(|A|>1\) означает \(A>1\) или \(A<-1\). Но в дробях удобнее возводить в квадрат, а не умножать на знаменатель: его знак может быть отрицательным. В похожих заданиях сначала находи ОДЗ, затем убирай модуль.