15.6. Решите систему уравнений:

Решены все четыре системы с фото.

Краткий ответ

\[ \begin{aligned} 1)&\ (27;1),\;(-1;-27);\\ 2)&\ (4;1),\;(1;4);\\ 3)&\ (2;3),\;\left(\frac{13}{3};-\frac{5}{3}\right);\\ 4)&\ (6;3),\;\left(3;\frac32\right). \end{aligned} \]

Ключевые шаги

1. Обозначим
   \[ a=\sqrt[3]{x},\qquad b=\sqrt[3]{y}. \] Тогда \[ a-b=2,\qquad ab=\sqrt[3]{xy}=\sqrt[3]{27}=3. \] Так как \(a=b+2\), то \[ b(b+2)=3 \] \[ b^2+2b-3=0, \] откуда \(b=1\) или \(b=-3\). Значит:

• \(b=1,\ a=3\): \(x=27,\ y=1\);
• \(b=-3,\ a=-1\): \(x=-1,\ y=-27\).

2. Сначала \(x,y>0\): подкоренные отношения должны быть неотрицательны, а \(x+y=5>0\). Обозначим \[ t=\sqrt{\frac{x}{y}}>0. \] Тогда \[ t+\frac1t=\frac52. \] Умножаем на \(2t\): \[ 2t^2-5t+2=0, \] \[ t=2\quad\text{или}\quad t=\frac12. \] Значит, \(\frac{x}{y}=4\) или \(\frac{x}{y}=\frac14\). Вместе с \(x+y=5\) получаем пары \[ (4;1),\qquad (1;4). \]

3. Обозначим \[ a=\sqrt[3]{x+2y},\qquad b=\sqrt[3]{x-y+2}. \] Из первого уравнения \[ a+b=3. \] Кроме того, \[ a^3+b^3=(x+2y)+(x-y+2)=2x+y+2. \] Так как \(2x+y=7\), то \[ a^3+b^3=9. \] Используем формулу \[ a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b). \] Получаем \[ 9=27-9ab, \] \[ ab=2. \] Значит, \(a\) и \(b\) — корни уравнения \[ z^2-3z+2=0, \] то есть \(a,b\) равны \(1\) и \(2\) в каком-то порядке.

Если \(a=1,\ b=2\), то \[ x+2y=1,\qquad x-y+2=8, \] откуда \[ x=\frac{13}{3},\qquad y=-\frac53. \] Если \(a=2,\ b=1\), то \[ x+2y=8,\qquad x-y+2=1, \] откуда \[ x=2,\qquad y=3. \]

4. Обозначим \[ t=\sqrt{\frac{3x-2y}{2x}}>0. \] Тогда второе слагаемое равно \(\frac1t\), поэтому \[ t+\frac1t=2. \] Отсюда \[ t=1. \] Значит, \[ \frac{3x-2y}{2x}=1, \] \[ 3x-2y=2x, \] \[ x=2y. \] Подставляем во второе уравнение: \[ (2y)^2-8y^2=18-18y, \] \[ -4y^2=18-18y, \] \[ 2y^2-9y+9=0. \] Дискриминант: \[ D=81-72=9. \] Поэтому \[ y=\frac{9\pm3}{4}, \] то есть \(y=3\) или \(y=\frac32\). Тогда \(x=6\) или \(x=3\).

Получаем: \[ (6;3),\qquad \left(3;\frac32\right). \]

Проверка подстановкой подтверждает все найденные пары.