Самостоятельная работа. (контрольная работа). №1. Постройте график функции, и выпишите её свойства:
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Самостоятельная работа. (контрольная работа).
Вариант I. | Вариант II.
№1. Постройте график функции, и выпишите её свойства: \(y=x^2+3x\) | \(y=x^2-4x\)
№2. Постройте график функции: \(y=x^2-6x+9\) | \(y=-x^2+4x-4\)
№3. Постройте график функции: \(y=x^2-2x\) | \(y=-x^2+2x\)
Кратко: на фото — самостоятельная работа с двумя вариантами. Все графики являются параболами. Ниже даны вершины, нули и точки для построения; для №1 ещё выписаны свойства.
Для функции \(y=ax^2+bx+c\):
\[ x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a},\qquad y_{\text{в}}=y(x_{\text{в}}). \]
При \(a>0\) ветви направлены вверх, при \(a<0\) — вниз. Ось симметрии: \(x=x_{\text{в}}\). Нули находим из уравнения \(y=0\).
Вариант I
| № | Функция | Ветви | Вершина | Нули | Дополнительные точки |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(y=x^2+3x\) | вверх | \(\left(-\frac32;-\frac94\right)\) | \(-3;\ 0\) | \((-4;4),(-2;-2),(-1;-2),(1;4)\) |
| 2 | \(y=x^2-6x+9=(x-3)^2\) | вверх | \((3;0)\) | \(3\) — касание оси \(Ox\) | \((0;9),(2;1),(4;1)\) |
| 3 | \(y=x^2-2x\) | вверх | \((1;-1)\) | \(0;\ 2\) | \((0;0),(2;0),(-1;3),(3;3)\) |
Свойства №1, вариант I
\[ D(y)=\mathbb R,\qquad E(y)=\left[-\frac94;+\infty\right). \]
- Вершина — точка минимума: \(y_{\min}=-\frac94\) при \(x=-\frac32\).
- Ось симметрии: \(x=-\frac32\).
- Нули: \(x=-3\), \(x=0\); \(y(0)=0\).
- \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-3)\cup(0;+\infty)\).
- \(y<0\) при \(x\in(-3;0)\).
- Убывает на \(\left(-\infty;-\frac32\right]\), возрастает на \(\left[-\frac32;+\infty\right)\).
Вариант II
| № | Функция | Ветви | Вершина | Нули | Дополнительные точки |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(y=x^2-4x\) | вверх | \((2;-4)\) | \(0;\ 4\) | \((-1;5),(1;-3),(3;-3),(5;5)\) |
| 2 | \(y=-x^2+4x-4=-(x-2)^2\) | вниз | \((2;0)\) | \(2\) — касание оси \(Ox\) | \((0;-4),(1;-1),(3;-1)\) |
| 3 | \(y=-x^2+2x\) | вниз | \((1;1)\) | \(0;\ 2\) | \((0;0),(2;0),(-1;-3),(3;-3)\) |
Свойства №1, вариант II
\[ D(y)=\mathbb R,\qquad E(y)=[-4;+\infty). \]
- Вершина — точка минимума: \(y_{\min}=-4\) при \(x=2\).
- Ось симметрии: \(x=2\).
- Нули: \(x=0\), \(x=4\); \(y(0)=0\).
- \(y>0\) при \(x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty)\).
- \(y<0\) при \(x\in(0;4)\).
- Убывает на \((-\infty;2]\), возрастает на \([2;+\infty)\).
Для №2 и №3 в условии требуется только построить график, поэтому свойства отдельно не выписываются.
Как строить: отметь вершину, нули и дополнительные симметричные точки, затем проведи через них плавную параболу.
Проверка: подстановка \(x_{\text{в}}\) в формулу даёт \(y_{\text{в}}\); например, для варианта I №1: \[ y\left(-\frac32\right)=\frac94-\frac92=-\frac94. \] Разложения \(x^2+3x=x(x+3)\) и \(x^2-4x=x(x-4)\) подтверждают найденные нули.
