Номер 572 (б,г)

Question

Номер 572 (б,г)

Расшифровка фото нейросетью:
572. В задачах 572—574 использованы следующие обозначения для прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ и высотой $CH$: $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$, $CH=h$, $AH=b_c$, $HB=a_c$. Найдите: б) $h$, $a$ и $b$, если $b_c=36$, $a_c=64$; г) $b$, $c$ и $b_c$, если $a=8$, $a_c=4$.

Answer

Краткий ответ

б) $h=48,\ a=80,\ b=60$;

г) $b=8\sqrt{3},\ c=16,\ b_c=12$.

Откуда берутся формулы

Высота $CH$, опущенная на гипотенузу, делит прямоугольный треугольник на два подобных ему треугольника. Поэтому, если $a_c$ и $b_c$ — проекции катетов на гипотенузу, то

$$
c=a_c+b_c,\qquad a^2=c\,a_c,\qquad b^2=c\,b_c,\qquad h^2=a_c b_c.
$$

То есть квадрат катета равен произведению гипотенузы на его проекцию, а квадрат высоты — произведению проекций катетов.

б) Дано $b_c=36,\ a_c=64$.

$$
c=64+36=100.
$$

$$
a=\sqrt{100\cdot 64}=10\cdot 8=80,
$$

$$
b=\sqrt{100\cdot 36}=10\cdot 6=60,
$$

$$
h=\sqrt{64\cdot 36}=8\cdot 6=48.
$$

Проверка:

$$
80^2+60^2=6400+3600=10000=100^2.
$$

г) Дано $a=8,\ a_c=4$.

$$
a^2=c\,a_c \quad\Rightarrow\quad 8^2=c\cdot 4,
$$

$$
c=\frac{64}{4}=16.
$$

$$
b_c=c-a_c=16-4=12.
$$

$$
b=\sqrt{c\,b_c}=\sqrt{16\cdot 12}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}.
$$

Проверка:

$$
8^2+(8\sqrt{3})^2=64+192=256=16^2.
$$