Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², а его гипотенуза равна 10 см. Каковы катеты треугольника?
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², а его гипотенуза равна 10 см. Каковы катеты треугольника?
Краткий ответ: катеты треугольника равны 6 см и 8 см.
Решение
Пусть катеты равны \(a\) и \(b\). Площадь прямоугольного треугольника: \[ \frac{ab}{2}=24 \quad\Rightarrow\quad ab=48. \] По теореме Пифагора: \[ a^2+b^2=10^2=100. \]
Найдём сумму катетов: \[ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=100+2\cdot 48=196, \] поэтому \[ a+b=14 \] (берём положительное значение, так как длины положительны).
Найдём разность катетов: \[ (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=100-96=4, \] значит \[ |a-b|=2. \]
Получаем систему: \[ \begin{cases} a+b=14,\\ a-b=2. \end{cases} \] Отсюда \(a=8\), \(b=6\) (или наоборот).
Проверка:
Площадь: \(\frac{6\cdot 8}{2}=24\) см².
Гипотенуза: \(\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\) см. Всё сходится.
Обсуждение
6 сообщенийЗадача 428
Сделай чертеж по этой задаче
Чертёж к задаче 428 (прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см и гипотенузой 10 см):
B
│╲
│ ╲
6 │ ╲
см │ ╲ 10 см
│ ╲
│ ╲
A──────C
8 см
Что должно быть на чертеже:
- \(AB = 6\) см, \(AC = 8\) см — катеты;
- \(BC = 10\) см — гипотенуза (напротив прямого угла);
- в вершине \(A\) — значок прямого угла (квадратик);
- подписаны длины всех трёх сторон.
Как построить точно:
- Проведи \(AB = 6\) см вертикально.
- Из точки \(A\) вправо под углом \(90^\circ\) отложи \(AC = 8\) см.
- Соедини \(B\) и \(C\) — по теореме Пифагора \(\sqrt{6^2+8^2}=10\) см, проверь линейкой.
- Впиши в треугольник \(S = 24\) см² (или укажи рядом).
Удобный масштаб: 1 клетка = 1 см, тогда катеты — 6 и 8 клеток, гипотенуза — 10 клеток. Получится точный чертёж без пересчёта.
Напиши ответ задачи
Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см (гипотенуза 10 см, площадь 24 см²).
Если в задаче требуется указать только длины катетов, достаточно записать: 6 см и 8 см.
