объясни и дай решение проще
Сверь числа и знаки с фото.
Решение. Пусть \(u\) км/ч — скорость течения реки, тогда скорость лодки по течению равна \(11+u\) км/ч, а скорость лодки против течения равна \(11-u\) км/ч. На обратный путь лодка затратила на 6 часов меньше, отсюда имеем: \[\frac{112}{11-u}-\frac{112}{11+u}=6 \Leftrightarrow\] \[\Leftrightarrow \frac{224u}{(11-u)(11+u)}=6 \Leftrightarrow\] \[\Leftrightarrow \frac{112u}{121-u^2}=3 \quad (u>0)\] \[\Leftrightarrow 112u=3(121-u^2) \Leftrightarrow\] \[\Leftrightarrow 3u^2+112u-363=0 \Leftrightarrow\] \[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} u=\dfrac{-56+\sqrt{56^2+3\cdot 363}}{3}; \\ u=\dfrac{-56-\sqrt{56^2+3\cdot 363}}{3} \end{array}\right. \Leftrightarrow\] \[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} u=3; \\ u=-\dfrac{121}{3} \end{array}\right. \Leftrightarrow u=3 \quad (u>0)\]
Краткий ответ: скорость течения реки \(u = 3\) км/ч.
Само условие в кадре обрезано сверху, но все нужные числа видны из решения: собственная скорость лодки \(11\) км/ч, расстояние в одну сторону \(112\) км, на обратный путь ушло на \(6\) ч меньше.
Главная идея
Время находится по формуле \(t = \dfrac{S}{v}\). Течение прибавляет скорость на одном направлении и отнимает на другом, поэтому времена разные. Разница этих времён и есть \(6\) часов.
| Скорость | Время на \(112\) км | |
|---|---|---|
| По течению | \(11+u\) | \(\dfrac{112}{11+u}\) |
| Против течения | \(11-u\) | \(\dfrac{112}{11-u}\) |
Против течения плыть дольше, значит из большего времени вычитаем меньшее:
\[ \frac{112}{11-u}-\frac{112}{11+u}=6 \]
Шаги решения
1. Привести дроби к общему знаменателю. Числитель: \(112(11+u)-112(11-u)=112\cdot 2u=224u\), знаменатель: \((11-u)(11+u)=121-u^2\):
\[ \frac{224u}{121-u^2}=6 \]
2. Разделить обе части на 2 (так числа меньше):
\[ \frac{112u}{121-u^2}=3 \]
3. Умножить на знаменатель (можно, так как \(u<11\), иначе лодка не плывёт против течения):
\[ 112u=3(121-u^2)=363-3u^2 \]
4. Перенести всё влево:
\[ 3u^2+112u-363=0 \]
5. Решить квадратное уравнение. Дискриминант:
\[ D=112^2+4\cdot 3\cdot 363=12544+4356=16900,\qquad \sqrt{D}=130 \]
\[ u=\frac{-112\pm 130}{6} \]
Получаем \(u=\dfrac{18}{6}=3\) или \(u=\dfrac{-242}{6}=-\dfrac{121}{3}\).
6. Отбросить лишний корень. Скорость течения положительна, поэтому \(u=-\dfrac{121}{3}\) не подходит. Остаётся \(u=3\).
(В готовом решении на фото то же самое, только через формулу с половинным коэффициентом: \(u=\dfrac{-56\pm\sqrt{56^2+3\cdot 363}}{3}\). Это то же уравнение, просто поделённое на 2.)
Проверка
- против течения: \(11-3=8\) км/ч, время \(112:8=14\) ч;
- по течению: \(11+3=14\) км/ч, время \(112:14=8\) ч;
- разница: \(14-8=6\) ч — сходится. ✔
Как решать похожие задачи
- Обозначить \(u\) — скорость течения.
- Записать две скорости: \(v+u\) и \(v-u\).
- Записать два времени: \(\dfrac{S}{v+u}\) и \(\dfrac{S}{v-u}\).
- Их разность приравнять к данному числу часов.
- Упростить до квадратного уравнения, найти корни, отбросить отрицательный и проверить подстановкой.
Обсуждение
2 сообщенияОткуда взялось скорости 2 х скорость
Коротко: это не «2 × скорость» как какая-то новая скорость. Множитель \(2\) появился сам, из арифметики: при вычитании дробей слагаемое с \(u\) встретилось два раза и сложилось с самим собой.
Откуда берётся \(2u\)
Исходное уравнение:
\[ \frac{112}{11-u}-\frac{112}{11+u}=6 \]
Приводим к общему знаменателю \((11-u)(11+u)\): числитель первой дроби домножаем на \((11+u)\), второй — на \((11-u)\):
\[ \frac{112(11+u)-112(11-u)}{(11-u)(11+u)}=6 \]
Теперь раскрываем скобки в числителе. Важно: минус перед второй скобкой меняет знаки у всех её членов, то есть \(-112(11-u)=-112\cdot 11+112u\):
\[ 112\cdot 11+112u-112\cdot 11+112u \]
Числа \(112\cdot 11\) взаимно уничтожаются, а два одинаковых слагаемых \(112u\) складываются:
\[ 112u+112u=224u=112\cdot 2u \]
Отсюда и двойка. Смысл простой: путь \(112\) км проходится дважды — туда и обратно, и в каждом направлении появляется своё \(112u\). Два таких слагаемых дают \(2\cdot 112u\).
Для сравнения, в знаменателе стоит \((11-u)(11+u)=121-u^2\) — там \(u\) уничтожаются, поэтому двойки нет.
Проверка на числах
При \(u=3\):
\[ 112\cdot 14-112\cdot 8=1568-896=672 \]
\[ 112\cdot 2\cdot 3=672 \]
Совпало. ✔
Кстати, если бы течения не было (\(u=0\)), то \(224u=0\), и времена были бы одинаковыми — что логично. А та двойка потом просто сокращается, когда обе части уравнения делят на \(2\): \(224u=6(121-u^2)\;\Rightarrow\;112u=3(121-u^2)\).
