Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1 = 2,\qquad x_2 = 3 \]

Как это получить

Способ 1. По теореме Виета (быстро, если уравнение приведённое, то есть коэффициент при \(x^2\) равен 1).

Для уравнения \(x^2 + px + q = 0\) корни удовлетворяют условиям: \[ x_1 + x_2 = -p,\qquad x_1 \cdot x_2 = q \] У нас \(p = -5\), \(q = 6\), значит: \[ x_1 + x_2 = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = 6 \] Подбираем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3.

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда, даже когда корни не целые).

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \] Так как \(D > 0\), корней два: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2} \] \[ x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2,\qquad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \]

Проверка

Подставляем корни в исходное уравнение:

• \(2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\) ✔
• \(3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\) ✔

Ещё один полезный взгляд: выражение раскладывается на множители \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \] Произведение равно нулю, когда хотя бы одна скобка равна нулю, — отсюда те же \(x = 2\) и \(x = 3\).

Принцип на будущее: если \(D > 0\) — два корня, \(D = 0\) — один корень, \(D < 0\) — корней нет. А теорему Виета удобно применять как быструю проверку или когда корни целые.