реши с дано решением найти и чертежом

На фото — Контрольная работа № 1, Вариант 1 («Параллелограмм и его виды»). Номер задания в запросе не указан, поэтому разбираю все шесть: с «Дано», «Найти/Доказать», чертежом и решением. Чертежи схематичные — перенеси их в тетрадь и расставь буквы.

Коротко ответы: 1) 9 см и 15 см; 2) 25 см; 3) 36° и 54°; 4) доказано; 5) 42 см; 6) доказано.

---

1. Стороны параллелограмма

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, одна сторона на 6 см больше другой, \(P = 48\) см. Найти: стороны.

Чертёж:

    B________C
     /      /
    /      /
   A______D
   AB = x, AD = x + 6

Решение. Противоположные стороны равны, поэтому \[ P = 2(AB + AD) = 2(x + x + 6) = 48. \] \[ 2x + 6 = 24 \Rightarrow 2x = 18 \Rightarrow x = 9. \] Значит \(AB = 9\) см, \(AD = 15\) см.

Ответ: 9 см и 15 см.

---

2. Периметр треугольника \(COD\)

Дано: \(ABCD\) — прямоугольник, \(AC \cap BD = O\), \(AB = 9\) см, \(AC = 16\) см. Найти: \(P_{COD}\).

Чертёж:

  A________B
  |\      /|
  | \    / |
  |  \  /  |
  |   \/   |
  |   O    |
  |   /\   |
  |  /  \  |
  | /    \ |
  |/      \|
  D________C

Решение. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: \[ OC = OD = \frac{AC}{2} = 8 \text{ см}. \] \(CD = AB = 9\) см как противоположные стороны. Тогда \[ P_{COD} = OC + OD + CD = 8 + 8 + 9 = 25 \text{ см}. \]

Ответ: 25 см.

---

3. Углы стороны ромба с диагоналями

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(\angle A = 72^{\circ}\). Найти: углы между стороной \(AB\) и диагоналями \(AC\), \(BD\).

Чертёж:

       B
      /|\
     / | \
    /  |  \
   A---O---C
    \  |  /
     \ | /
      \|/
       D

Решение. Диагональ ромба делит угол пополам: \[ \angle BAC = \frac{72^{\circ}}{2} = 36^{\circ}. \] Соседний угол \(\angle ABC = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}\), поэтому \[ \angle ABD = \frac{108^{\circ}}{2} = 54^{\circ}. \] Проверка: \(36^{\circ} + 54^{\circ} = 90^{\circ}\) — так и должно быть, ведь диагонали ромба перпендикулярны.

Ответ: 36° и 54°.

---

4. Доказать \(CE = AF\)

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(E\) и \(F\) лежат на \(BD\), \(E\) между \(B\) и \(F\), \(\angle BCE = \angle DAF\). Доказать: \(CE = AF\).

Чертёж:

    B________C
   / \   E  /
  /   \  F /
 A_____\__D

Доказательство. Рассмотрим \(\triangle BCE\) и \(\triangle DAF\):

1. \(BC = AD\) — противоположные стороны параллелограмма;
2. \(\angle CBE = \angle ADF\) — накрест лежащие при \(BC \parallel AD\) и секущей \(BD\) (точки \(E\), \(F\) лежат на \(BD\));
3. \(\angle BCE = \angle DAF\) — по условию.

Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, значит \(CE = AF\). Ч.т.д.

---

5. Периметр параллелограмма с биссектрисой

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(AE\) — биссектриса \(\angle A\), \(E \in BC\), \(BE = 3\cdot EC\), \(BC = 12\) см. Найти: \(P\).

Чертёж:

    B____E______C
   /            /
  /            /
 A____________D
 BE = 9 см, EC = 3 см, AB = 9 см

Решение.

1. \(BC = BE + EC = 12\), причём \(BE = 3EC\): \[ 3EC + EC = 12 \Rightarrow EC = 3 \text{ см},\quad BE = 9 \text{ см}. \]
2. \(AD \parallel BC\), \(AE\) — секущая, поэтому \(\angle EAD = \angle AEB\) (накрест лежащие). Но \(AE\) — биссектриса, значит \(\angle BAE = \angle EAD\). Отсюда \(\angle BAE = \angle AEB\), и \(\triangle ABE\) равнобедренный: \(AB = BE = 9\) см.
3. \[ P = 2(AB + BC) = 2(9 + 12) = 42 \text{ см}. \]

Ответ: 42 см.

---

6. Доказать, что \(AMCK\) — параллелограмм

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(O\) — середина \(AC\); прямая через \(O\) пересекает \(BC\) в \(M\), \(AD\) в \(K\). Доказать: \(AMCK\) — параллелограмм.

Чертёж: построй параллелограмм \(ABCD\), проведи диагональ \(AC\) и отметь её середину \(O\); через \(O\) проведи прямую \(MK\) (\(M\) на \(BC\), \(K\) на \(AD\)); соедини \(A\)—\(M\), \(M\)—\(C\), \(C\)—\(K\), \(K\)—\(A\).

Доказательство. Рассмотрим \(\triangle AOK\) и \(\triangle COM\):

1. \(OA = OC\) (\(O\) — середина \(AC\));
2. \(\angle AOK = \angle COM\) — вертикальные;
3. \(\angle OAK = \angle OCM\) — накрест лежащие при \(AD \parallel BC\) и секущей \(AC\).

Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам, значит \(OK = OM\).

В четырёхугольнике \(AMCK\) диагонали \(AC\) и \(MK\) пересекаются в точке \(O\) и делятся ею пополам. По признаку параллелограмма \(AMCK\) — параллелограмм. Ч.т.д.

---

Что запомнить, чтобы решать похожие

• Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому \(P = 2(a+b)\), а сумма соседних сторон — это полупериметр.
• Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам; диагонали ромба перпендикулярны и делят углы пополам.
• Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник: равные углы дают равные стороны.
• Четырёхугольник — параллелограмм, если его диагонали делятся точкой пересечения пополам.
• В задачах на доказательство ищи пару равных треугольников: сторона из параллелограмма + накрест лежащие углы + данные или вертикальные углы.