221. Решите уравнение, используя введение новой переменной:
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Решите уравнение, используя введение новой переменной: а) \((2x^2 + 3)^2 - 12(2x^2 + 3) + 11 = 0\); б) \((t^2 - 2t)^2 - 3 = 2(t^2 - 2t)\); в) \((x^2 + x - 1)(x^2 + x + 2) = 40\); г) \((2x^2 + x - 1)(2x^2 + x - 4) + 2 = 0\).
На фото отдельно обведён пункт 221(б) — его и разбираю. Если нужен другой номер, напишите его.
Ответ: \(t = -1\), \(t = 1\), \(t = 3\).
Как решать:
В уравнении \[ (t^2 - 2t)^2 - 3 = 2(t^2 - 2t) \] повторяется одно и то же выражение \(t^2 - 2t\). Вводим новую переменную: \[ u = t^2 - 2t. \]
Тогда уравнение становится квадратным относительно \(u\): \[ u^2 - 3 = 2u \quad \Rightarrow \quad u^2 - 2u - 3 = 0. \]
Решаем его: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16, \] \[ u_{1,2} = \frac{2 \pm 4}{2}, \quad u_1 = 3, \quad u_2 = -1. \]
Возвращаемся к \(t\):
при \(u = 3\): \[ t^2 - 2t = 3 \quad \Rightarrow \quad t^2 - 2t - 3 = 0, \] \[ t = \frac{2 \pm 4}{2}, \quad t_1 = 3, \quad t_2 = -1. \]
при \(u = -1\): \[ t^2 - 2t = -1 \quad \Rightarrow \quad t^2 - 2t + 1 = 0, \] \[ (t - 1)^2 = 0, \quad t_3 = 1. \]
- Проверка: при \(t = 1\) левая часть равна \((-1)^2 - 3 = -2\), правая \(2 \cdot (-1) = -2\). При \(t = 3\) и \(t = -1\) обе части равны \(6\). Всё сходится.
Принцип: замена переменной сводит уравнение четвёртой степени к квадратному. После нахождения \(u\) обязательно возвращаемся к исходной переменной и решаем каждое из полученных уравнений. В конце проверяем корни подстановкой.
Остальные пункты 221 решаются той же заменой; если нужно, разберу их тоже.
