3. Точки F и K — середины сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Плоскость α проходит через точки B, F и K. Докажите, что прямая AC лежит в плоскости α.

Краткий ответ (задание 3): плоскость \(\alpha\) совпадает с плоскостью треугольника \(ABC\), поэтому вся прямая \(AC\) лежит в \(\alpha\).

Почему это так:

1. \(F\) лежит на \(AB\). Плоскость \(\alpha\) содержит \(B\) и \(F\), значит, содержит прямую \(BF\), то есть \(AB\). Поэтому \(A\in\alpha\).
2. \(K\) лежит на \(BC\). Так как \(B,K\in\alpha\), плоскость содержит прямую \(BK\), то есть \(BC\). Поэтому \(C\in\alpha\).
3. В плоскости \(\alpha\) оказались две точки прямой \(AC\) — \(A\) и \(C\). Если плоскость содержит две точки прямой, она содержит всю прямую. Значит, \(AC\subset\alpha\).

Короче: \(\alpha\) содержит две пересекающиеся прямые \(AB\) и \(BC\); через них проходит единственная плоскость — \((ABC)\). Поэтому \(\alpha=(ABC)\), и \(AC\subset\alpha\).

Середины \(F\) и \(K\) здесь необязательны: важно только, что эти точки лежат на сторонах \(AB\) и \(BC\).