С-15. Дробные рациональные уравнения 1. При каких значениях b равно нулю значение дроби:

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
С-15. Дробные рациональные уравнения

1. При каких значениях b равно нулю значение дроби:
a) $\frac{3b^3 - 3b}{b^2 + 7b + 6}$;
б) $\frac{b^4 + 10b^3 + 25b^2}{b^4 - 625}$?

2. Решите уравнение
$$\frac{x^3 + 6x^2 - 5x - 30}{x^2 - 36} = 0.$$

3. Найдите корни уравнения:
a) $\frac{2}{x-4} - \frac{5}{x+3} = \frac{11}{x^2 - x - 12} + 1$;
б) $\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5} - \frac{7-x}{x^2 + 7x + 10} = 0$.

4. Решите уравнение, обозначив одну из взаимно обратных дробей через t, а другую — через $\frac{1}{t}$:
$$\frac{x^2-8}{x} + \frac{x}{x^2-8} = 2\frac{1}{2}.$$

5. Решите уравнение, используя введение новой переменной:
$$\frac{x^2+8}{x} - \frac{12x}{x^2+8} = 4.$$

6. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций $y=x^2+2x-9$ и $y=\frac{18}{x}$.

7. Найдите корни уравнения
$$2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+x-\frac{1}{x}=7.$$

Answer

На фото — самостоятельная работа С-15: 7 заданий. Ниже ответы и ключевые шаги.

1. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.

а) $$
3b^3-3b=3b(b-1)(b+1),\qquad b^2+7b+6=(b+1)(b+6).
$$
Запрещены $b=-1$ и $b=-6$, поэтому $b=-1$ не подходит.
Ответ: $b=0;\ 1$.

б) $$
b^4+10b^3+25b^2=b^2(b+5)^2,
$$
$$
b^4-625=(b-5)(b+5)(b^2+25).
$$
Запрещены $b=5$ и $b=-5$, поэтому $b=-5$ не подходит.
Ответ: $b=0$.

2. ОДЗ: $x\ne \pm 6$. Разложим числитель:
$$
x^3+6x^2-5x-30=x^2(x+6)-5(x+6)=(x+6)(x^2-5).
$$
Корень $x=-6$ — посторонний, так как знаменатель тоже равен нулю.
Ответ: $x=\pm\sqrt5$.

3. а) $$
\frac{2}{x-4}-\frac{5}{x+3}=\frac{11}{(x-4)(x+3)}+1.
$$
После приведения:
$$
\frac{-3x+15}{(x-4)(x+3)}=1.
$$
Тогда
$$
-3x+15=x^2-x-12,
$$
$$
x^2+2x-27=0.
$$
Ответ: $x=-1\pm2\sqrt7$.

3. б) Общий знаменатель:
$$
(x+2)(x+5).
$$
Получаем:
$$
\frac{x(x+5)+(x+1)(x+2)-(7-x)}{(x+2)(x+5)}=0,
$$
$$
2x^2+9x-5=0.
$$
Корни: $x=\frac12$ и $x=-5$. Но $x=-5$ не входит в ОДЗ.
Ответ: $x=\frac12$.

4. Пусть
$$
t=\frac{x^2-8}{x}.
$$
Тогда
$$
t+\frac1t=2\frac12=\frac52.
$$
$$
2t^2-5t+2=0,
$$
$$
t=2 \quad\text{или}\quad t=\frac12.
$$

Если $t=2$:
$$
x^2-8=2x,
$$
$$
x^2-2x-8=0,
$$
$$
x=4;\ -2.
$$

Если $t=\frac12$:
$$
x^2-8=\frac{x}{2},
$$
$$
2x^2-x-16=0,
$$
$$
x=\frac{1\pm\sqrt{129}}4.
$$

Ответ: $$
x=4;\ -2;\ \frac{1-\sqrt{129}}4;\ \frac{1+\sqrt{129}}4.
$$

5. Пусть
$$
t=\frac{x^2+8}{x}.
$$
Тогда
$$
t-\frac{12}{t}=4,
$$
$$
t^2-4t-12=0,
$$
$$
t=6\quad\text{или}\quad t=-2.
$$

При $t=6$:
$$
x^2+8=6x,
$$
$$
x^2-6x+8=0,
$$
$$
x=2;\ 4.
$$

При $t=-2$:
$$
x^2+8=-2x,
$$
$$
x^2+2x+8=0,
$$
дискриминант отрицательный — корней нет.
Ответ: $x=2;\ 4$.

6. Приравняем функции:
$$
x^2+2x-9=\frac{18}{x},\qquad x\ne0.
$$
$$
x^3+2x^2-9x-18=0,
$$
$$
(x+2)(x^2-9)=0.
$$
Отсюда $x=-2;\ -3;\ 3$. Находим $y=\frac{18}{x}$:
$$
x=-2 \Rightarrow y=-9,
$$
$$
x=-3 \Rightarrow y=-6,
$$
$$
x=3 \Rightarrow y=6.
$$
Ответ: $(-2;-9),\ (-3;-6),\ (3;6)$.

7. Обозначим
$$
u=x-\frac1x.
$$
Тогда
$$
x^2+\frac1{x^2}=u^2+2.
$$
Уравнение принимает вид:
$$
2(u^2+2)+u=7,
$$
$$
2u^2+u-3=0.
$$
Корни: $u=1$ и $u=-\frac32$.

Если $u=1$:
$$
x-\frac1x=1,
$$
$$
x^2-x-1=0,
$$
$$
x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.
$$

Если $u=-\frac32$:
$$
x-\frac1x=-\frac32,
$$
$$
2x^2+3x-2=0,
$$
$$
x=\frac12;\ -2.
$$

Ответ: $$
x=\frac{1-\sqrt5}{2};\ \frac{1+\sqrt5}{2};\ \frac12;\ -2.
$$

Все найденные корни я проверил по ОДЗ: посторонние значения отброшены.