помоги понять эту тему по алгебре

Проверил. В пункте а) — верно:

\[ \frac{15a-b}{12a}-\frac{a-4b}{9a} =\frac{41a+13b}{36a},\qquad a\ne0. \]

А в пункте б) есть ошибка: у первой дроби дополнительный множитель должен быть \(3\), а не \(4\), потому что

\[ 24y:8y=3. \]

Правильно так:

\[ \frac{7x+4}{8y}-\frac{3x-1}{6y} = \frac{3(7x+4)-4(3x-1)}{24y} = \]

\[ = \frac{21x+12-12x+4}{24y} = \frac{9x+16}{24y}. \]

Ответ: \(\boxed{\frac{9x+16}{24y}}\), \(y\ne0\).

У тебя получилось \(16x+20\), потому что перед первой скобкой стоит \(4\):

\[ 4(7x+4)=28x+16, \]

а должно быть

\[ 3(7x+4)=21x+12. \]

Если верхняя запись тоже входит в проверку, то для

\[ x^3-25x=0 \]

потерян корень \(-5\):

\[ x(x^2-25)=x(x-5)(x+5)=0, \]

поэтому

\[ x=0,\quad x=5,\quad x=-5. \]

На фото два разных типа заданий, и правила у них разные. Разберу оба — так, чтобы ты смогла решать похожие сама.

1. Уравнение \(x^3-25x=0\)

Идея: слева сумма/разность, справа ноль. Значит, надо разложить левую часть на множители и пользоваться правилом:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю.

Шаг 1. Вынести общий множитель. Общий множитель — это \(x\): \[ x^3-25x=x(x^2-25). \] В тетради у тебя написано \(x(x^2-25x)\) — это ошибка: при вынесении \(x\) из слагаемого \(-25x\) остаётся \(-25\), а не \(-25x\). Проверить просто: раскрой скобки обратно, должно получиться исходное выражение.

Шаг 2. Разложить разность квадратов: \[ x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5). \] Получаем: \[ x(x-5)(x+5)=0. \]

Шаг 3. Приравнять каждый множитель к нулю: \[ x=0,\qquad x-5=0\Rightarrow x=5,\qquad x+5=0\Rightarrow x=-5. \]

Ответ: \(x=0,\ x=5,\ x=-5\). Три корня, а не два — кубическое уравнение может иметь до трёх корней.

Почему теряется корень: уравнение \(x^2-25=0\) имеет два решения, \(\pm5\). Если писать только \(x=5\), теряется \(-5\).

2. Сложение и вычитание дробей

Общий алгоритм:

1. Разложить знаменатели на множители (числа — на простые, буквы — по степеням).
2. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ): у чисел — НОК, у каждой буквы — наибольшая степень.
3. Найти дополнительные множители: \(\text{НОЗ}:\text{старый знаменатель}\).
4. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на свой дополнительный множитель.
5. Записать одной дробью и раскрыть скобки в числителе, особенно после минуса.
6. Привести подобные, сократить, если можно, и записать ОДЗ (знаменатель \(\ne0\)).

Как найти НОЗ в примере б)

Знаменатели \(8y\) и \(6y\).

• Числа: \(8=2^3\), \(6=2\cdot3\). НОК \(=2^3\cdot3=24\).
• Буква \(y\) есть в обоих, берём в первой степени.
• Значит, НОЗ \(=24y\).

Дополнительные множители: \[ \frac{24y}{8y}=3,\qquad \frac{24y}{6y}=4. \]

Получаем: \[ \frac{7x+4}{8y}-\frac{3x-1}{6y} = \frac{3(7x+4)-4(3x-1)}{24y}. \]

Где у тебя сбой

Ты поставила над первой дробью \(4\), а нужно \(3\). Из-за этого всё поехало: \[ 4(7x+4)=28x+16 \quad\text{(неверный путь)}, \] а правильно: \[ 3(7x+4)=21x+12. \]

Дальше: \[ \frac{21x+12-12x+4}{24y} = \frac{9x+16}{24y}. \]

Ответ: \(\dfrac{9x+16}{24y}\), \(y\ne0\).

Обрати внимание на два места, где чаще всего ошибаются:

• минус перед дробью меняет знак у каждого слагаемого: \(-4(3x-1)=-12x+4\);
• сокращать можно только множители, а не слагаемые. В \(\frac{9x+16}{24y}\) ничего не сокращается.

Проверка подстановкой: возьми, например, \(x=0,\ y=1\): слева \(\frac{4}{8}-\frac{-1}{6}=\frac12+\frac16=\frac23\), справа \(\frac{16}{24}=\frac23\). Сходится.

Если хочешь, пришли ещё один пример — разберём его вместе по этим шагам.

На фото — весь блок по алгебраическим дробям. Все номера держатся на трёх умениях, поэтому сначала правило, потом пример из твоего списка.

Три умения, из которых всё состоит

1. Область определения. Дробь — это деление, а на ноль делить нельзя. Поэтому знаменатель \(\ne 0\). Это всегда первое, что записывают.

2. Разложение на множители. Сокращать дробь можно только по множителям, поэтому числитель и знаменатель сначала превращают в произведение. Инструменты:

• вынесение общего множителя;
• формулы: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), \(a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2\);
• группировка слагаемых.

3. Сокращение. Вычёркивать можно только одинаковые множители, а не слагаемые: \[ \frac{ab}{ac}=\frac{b}{c},\qquad \frac{a+b}{a+c}\ne\frac{b}{c}. \]

Как это работает в твоих номерах

№ 10 — сокращение через группировку

В знаменателе четыре слагаемых, общего множителя у всех нет. Значит, группируем по два: \[ -3rf+8p-rp+24f=(-3rf+24f)+(8p-rp)= \] \[ =3f(8-r)+p(8-r)=(8-r)(3f+p). \] Появилась общая скобка \((8-r)\), её и сокращаем: \[ \frac{8-r}{(8-r)(3f+p)}=\frac{1}{3f+p},\qquad r\ne8. \]

№ 11 — узнаём формулы

Числитель — это квадрат разности, проверяем средний член: \(2\cdot6x\cdot7m=84xm\). \[ 36x^2-84xm+49m^2=(6x-7m)^2. \] В знаменателе выносим \(4x\): \[ 24x^2-28xm=4x(6x-7m). \] \[ \frac{(6x-7m)^2}{4x(6x-7m)}=\frac{6x-7m}{4x},\qquad x\ne0. \]

№ 12, 13, 14 — одинаковые знаменатели

Знаменатель один и тот же, поэтому пишем одной дробью и работаем с числителями.

12. \[ \frac{(7c+3m)-(7c+4m)}{4}=\frac{-m}{4}=-\frac{m}{4}. \]

13. Знаменатель раскладываем как разность квадратов, а в числителе выносим множитель: \[ \frac{28u+36n}{49u^2-81n^2} =\frac{4(7u+9n)}{(7u-9n)(7u+9n)} =\frac{4}{7u-9n}. \]

14. \[\frac{30a-10}{36a^2-24a+4} =\frac{10(3a-1)}{4(3a-1)^2} =\frac{5}{2(3a-1)}, \] потому что \(4(3a-1)^2=(4(3a-1))(3a-1)\).

№ 15–18 — умножение и деление

Здесь работаем по правилам обычных дробей: числитель с числителем, знаменатель со знаменателем, а при делении переворачиваем вторую дробь.

15. \[\frac{18b^9}{r^8}\cdot\frac{r^3}{16b^2} =\frac{18}{16}\cdot b^{9-2}\cdot r^{3-8} =\frac{9b^7}{8r^5}.\] Отрицательная степень \(r^{-5}\) уходит в знаменатель.

16. \[18g^9\cdot\frac{d^6}{24g^9}=\frac{18d^6}{24}=\frac{3d^6}{4}.\] Степень \(g^9\) сокращается целиком.

17. Сначала замечаем, что \(4x+9y\) сокращается, а потом раскладываем: \[ \frac{4x+6}{4x^2+12x+9} =\frac{2(2x+3)}{(2x+3)^2}=\frac{2}{2x+3}. \]

18. \[ \frac{3}{2k^2}\cdot\frac{9k^2}{7v^2} =\frac{27k^2}{14k^2v^2} =\frac{27}{14v^2}. \]

Ответы для самопроверки

Проверка себя: после сокращения подставь вместо букв простые числа (например, все по \(1\), где выражение определено). Если значения совпали — преобразование верное.

Скажи, какой номер разобрать подробнее — распишу его по шагам, как в классе.

№ 12. Разбираю по шагам

\[ \frac{7c+3m}{4}-\frac{7c+4m}{4} \]

Шаг 1. Смотрим на знаменатели. Они одинаковые — оба равны \(4\). Значит, общий знаменатель уже есть, искать ничего не нужно. Просто записываем всё одной дробью со знаменателем \(4\).

Шаг 2. Вычитаем числители — обязательно в скобках. \[ \frac{(7c+3m)-(7c+4m)}{4} \]

Скобки здесь главное. Знак минус перед дробью относится ко всему числителю, а не только к первому слагаемому.

Шаг 3. Раскрываем скобки. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому у обоих её слагаемых знак меняется: \[ \frac{7c+3m-7c-4m}{4} \]

Шаг 4. Приводим подобные в числителе.

• \(7c-7c=0\) — буквы \(c\) взаимно уничтожились;
• \(3m-4m=-m\).

\[ \frac{7c+3m-7c-4m}{4}=\frac{-m}{4} \]

Шаг 5. Записываем ответ красиво. Минус можно вынести перед дробью: \[ \boxed{-\frac{m}{4}} \]

Ограничений на \(c\) и \(m\) нет: знаменатель равен \(4\), а не нулю, поэтому дробь определена при любых значениях.

Где здесь обычно ошибаются

• Забывают скобки и считают так: \(7c+3m-7c+4m=7m\). Это неверно: минус должен поменять знак у \(4m\), поэтому получается \(-4m\), а не \(+4m\).
• Сокращают \(7c\) в исходной записи. Нельзя: \(7c\) стоит в сумме с \(3m\), а сокращать можно только множители.
• Теряют минус и пишут \(\frac{m}{4}\) вместо \(-\frac{m}{4}\).

Проверка подстановкой

Возьмём \(c=1,\ m=1\): \[ \frac{7+3}{4}-\frac{7+4}{4}=\frac{10}{4}-\frac{11}{4}=-\frac14. \] И по ответу: \(-\frac{1}{4}\). Совпало.

Похожий пример для тренировки

\[ \frac{5a+2b}{3}-\frac{5a-b}{3} =\frac{5a+2b-5a+b}{3} =\frac{3b}{3}=b. \]

Здесь тоже первое слагаемое \(5a\) уничтожилось, а \(-(-b)=+b\). Если этот пример получился — принцип ты поняла.