7. Касательные в точках O и B к окружности с центром H пересекаются под углом 56°. Найдите угол OBH. Ответ дайте в градусах.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Касательные в точках O и B к окружности с центром H пересекаются под углом 56°. Найдите угол OBH. Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность с центром H, точки O и B на окружности; касательные к окружности в этих точках пересекаются вне её.]
Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке X. Найдите расстояние между точками A и O, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки A до точки X равно 88. [Рисунок: точка A вне окружности; из неё проведены две касательные; отмечен угол 60°; в круге отмечен центр X.]
Через точку P, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке N. Другая прямая пересекает окружность в точках E и H, причём \(PE=7\), \(PH=56\). Найдите \(PN\). [Рисунок: окружность, точка P вне неё; касательная PN и секущая, пересекающая окружность в E и H.]
На окружности отмечены точки K и B так, что меньшая дуга KB равна 8°. Прямая BO касается окружности в точке B так, что угол OBK острый. Найдите угол OBK. Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность, точки K и B; касательная BO; хорда BK.]
На фото четыре задачи (7–10), поэтому решаю все.
Ответы:
7) \(28^\circ\);
8) \(44\sqrt3\) (примерно 76,2);
9) \(14\sqrt2\) (примерно 19,8);
10) \(4^\circ\).
7
Пусть \(P\) — точка пересечения касательных. Радиусы \(HO\) и \(HB\) перпендикулярны касательным. В четырёхугольнике \(OPBH\): \[ \angle OHB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-56^\circ=124^\circ. \] Треугольник \(OHB\) равнобедренный, ведь \(OH=HB\). Значит, \[ \angle OBH=\frac{180^\circ-124^\circ}{2}=28^\circ. \]
8
Пусть \(O\) — точка касания. Прямая \(AX\) делит угол между касательными пополам, поэтому \[ \angle OAX=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ. \] Радиус \(XO\) перпендикулярен касательной \(AO\), значит треугольник \(AOX\) прямоугольный с гипотенузой \(AX=88\). Тогда \[ AO=AX\cos30^\circ=88\cdot\frac{\sqrt3}{2}=44\sqrt3. \]
9
По теореме о касательной и секущей: \[ PN^2=PE\cdot PH. \] Подставляем: \[ PN^2=7\cdot56=392, \] \[ PN=\sqrt{392}=14\sqrt2. \]
10
Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними. Меньшая дуга \(KB\) равна \(8^\circ\), а угол \(OBK\) по условию острый, поэтому: \[ \angle OBK=\frac{8^\circ}{2}=4^\circ. \] Второй возможный угол был бы \(176^\circ\), но он не острый.
Что важно запомнить: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной; отрезки касательных из одной точки равны; для касательной и секущей работает формула \(PN^2=PE\cdot PH\).
