7. Касательные в точках O и B к окружности с центром H пересекаются под углом 56°. Найдите угол OBH. Ответ дайте в градусах.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Касательные в точках O и B к окружности с центром H пересекаются под углом 56°. Найдите угол OBH. Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность с центром H; точки O и B лежат на окружности; касательные в точках O и B пересекаются справа; проведены радиусы HO и HB и хорда OB.]
- Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке X. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки A до точки X равно 88. [Рисунок: окружность с центром X; из точки A справа проведены две касательные; угол между касательными отмечен как 60°.]
- Через точку P, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке N. Другая прямая пересекает окружность в точках E и H, причём PE = 7, PH = 567. Найдите PN. [Рисунок: окружность; точка P вне окружности слева; секущая проходит через E и H; из P проведена касательная, касающаяся окружности в точке N.]
- На окружности отмечены точки K и B так, что меньшая дуга KB равна 8°. Прямая BO касается окружности в точке B так, что угол OBK острый. Найдите угол OBK. Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность; точки K и B на окружности; из точки B проведена касательная BO; проведена хорда BK.]
На фото четыре задачи — даю ответы ко всем.
7) \(28^\circ\).
Пусть касательные пересекаются в точке \(T\). Касательная перпендикулярна радиусу, поэтому в четырёхугольнике \(HOTB\) два угла по \(90^\circ\). Тогда центральный угол:
\[
\angle OHB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-56^\circ=124^\circ.
\]
Треугольник \(HOB\) равнобедренный, ведь \(HO=HB\) — радиусы. Значит:
\[
\angle OBH=\frac{180^\circ-124^\circ}{2}=28^\circ.
\]
8) \(44\).
Прямая \(AX\) делит угол между касательными пополам, поэтому \(\angle TAX=30^\circ\), где \(T\) — точка касания. Радиус \(XT\) перпендикулярен касательной \(AT\), значит треугольник \(AXT\) прямоугольный:
\[
\sin 30^\circ=\frac{XT}{AX}=\frac{r}{88}.
\]
Так как \(\sin 30^\circ=\frac12\), получаем:
\[
r=88\cdot \frac12=44.
\]
9) \(63\).
По теореме о касательной и секущей:
\[
PN^2=PE\cdot PH.
\]
Тогда:
\[
PN^2=7\cdot 567=3969=63^2,
\]
поэтому \(PN=63\).
10) \(4^\circ\).
Угол между касательной \(BO\) и хордой \(BK\) равен половине дуги \(BK\), заключённой между ними:
\[
\angle OBK=\frac12\cdot 8^\circ=4^\circ.
\]
По условию угол острый, поэтому берём именно \(4^\circ\), а не \(176^\circ\).
Проверка: в задаче 7 сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\); в задаче 8 \(44/88=0{,}5=\sin30^\circ\); в задаче 9 \(63^2=7\cdot567\); в задаче 10 угол \(4^\circ\) острый.
