7. Касательные в точках O и B к окружности с центром H пересекаются под углом 56°. Найдите угол OBH.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Касательные в точках O и B к окружности с центром H пересекаются под углом \(56^\circ\). Найдите угол OBH. Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность с центром H; точка O на окружности; касательная в точке O и касательная в точке B пересекаются справа от окружности; проведены отрезки OB и HB.]
- Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке X. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен \(60^\circ\), а расстояние от точки A до точки X равно 88. [Рисунок: окружность с центром X; из точки A справа проведены две касательные; угол при вершине A обозначен \(60^\circ\).]
- Через точку P, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке N. Другая прямая пересекает окружность в точках E и H, причём \(PE = 7\), \(PH = 567\). Найдите PN. [Рисунок: окружность; точка P вне окружности слева внизу; прямая PN касается окружности в точке N; секущая проходит через P, E и H, где E и H лежат на окружности.]
- На окружности отмечены точки K и B так, что меньшая дуга KB равна \(8^\circ\). Прямая BO касается окружности в точке B так, что угол OBK острый. Найдите угол OBK. Ответ дайте в градусах. [Рисунок: окружность; точка B внизу, K справа; прямая BO касается окружности в точке B; проведена хорда BK; точка O лежит на касательной справа от B.]
Краткие ответы: 7) \(28\); 8) \(44\); 9) \(63\); 10) \(4\).
7. Угол между касательными
Пусть касательные в точках \(O\) и \(B\) пересекаются в точке \(P\). Тогда \(\angle OPB=56^\circ\). Радиусы \(HO\) и \(HB\) перпендикулярны касательным, поэтому в четырёхугольнике \(HOPB\): \[ \angle OHB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-56^\circ=124^\circ. \] Треугольник \(OHB\) равнобедренный, ведь \(OH=HB=R\). Значит, \[ \angle OBH=\frac{180^\circ-124^\circ}{2}=28^\circ. \] Ответ: \(28\).
8. Радиус по двум касательным
Пусть \(T\) — точка касания. Тогда \(XT\perp AT\). Отрезок \(AX\) делит угол между касательными пополам, поэтому \[ \angle TAX=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ. \] В прямоугольном треугольнике \(XTA\): \[ \sin 30^\circ=\frac{XT}{AX}=\frac{r}{88}. \] Отсюда \[ r=88\cdot \frac12=44. \] Ответ: \(44\).
9. Касательная и секущая
По теореме о степени точки: \[ PN^2=PE\cdot PH. \] Подставляем: \[ PN^2=7\cdot 567=3969=63^2, \] поэтому \(PN=63\). Ответ: \(63\).
10. Угол между касательной и хордой
Угол между касательной \(BO\) и хордой \(BK\) равен половине дуги \(BK\), заключённой внутри этого угла. Так как \(\angle OBK\) острый, он опирается на меньшую дугу \(KB=8^\circ\): \[ \angle OBK=\frac{8^\circ}{2}=4^\circ. \] Если бы угол был тупым, он опирался бы на большую дугу и равнялся \(176^\circ\). Ответ: \(4\).
Проверка: в задаче 7 сумма углов треугольника \(OHB\) равна \(28^\circ+28^\circ+124^\circ=180^\circ\); в задаче 8 \(44/88=\sin 30^\circ\); в задаче 9 \(63^2=7\cdot567\); в задаче 10 \(4^\circ\) — половина \(8^\circ\).
