2.48 жауабы

Қысқа жауабы:

1. \(x=\pm 2;\ \pm 3\)
2. \(x=\pm 5\)
3. \(x=\pm 1;\ \pm \dfrac{1}{3}\)
4. \(x=\pm 1\)

Негізгі идея: \(|x|^2=x^2\), сондықтан \(t=|x|\) деп белгілеуге болады, мұнда \(t\ge 0\). Сонда теңдеу \(t\)-ға қатысты кәдімгі квадрат теңдеуге айналады. Оны шешіп, теріс түбірлерді алып тастаймыз (модуль теріс бола алмайды), соңынан \(|x|=t\) теңдеуінен \(x=\pm t\) аламыз.

1) \(t^2-5t+6=0\). Виет бойынша \(t_1=2,\ t_2=3\). Екеуі де теріс емес. \[ |x|=2 \Rightarrow x=\pm 2,\qquad |x|=3 \Rightarrow x=\pm 3. \]

2) \(t^2-2t-15=0\). Дискриминант \(D=4+60=64\), сондықтан \[ t=\frac{2\pm 8}{2}=5 \ \text{немесе}\ -3. \] \(t=-3\) жарамсыз, өйткені \(t=|x|\ge 0\). Демек \(|x|=5\), яғни \(x=\pm 5\).

3) \(3t^2-4t+1=0\). \(D=16-12=4\), \[ t=\frac{4\pm 2}{6}=1 \ \text{немесе}\ \frac{1}{3}. \] Екеуі де теріс емес: \[ |x|=1 \Rightarrow x=\pm 1,\qquad |x|=\frac{1}{3} \Rightarrow x=\pm \frac{1}{3}. \]

4) \(2t^2+3t-5=0\). \(D=9+40=49\), \[ t=\frac{-3\pm 7}{4}=1 \ \text{немесе}\ -\frac{5}{2}. \] Теріс түбір жарамсыз, сондықтан \(|x|=1\), яғни \(x=\pm 1\).

Тексеру: мысалы, 4-теңдеуде \(x=1\): \(2\cdot1^2+3\cdot|1|-5=2+3-5=0\) — дұрыс. \(x=-1\) үшін де модуль санын өзгертпейді, сондықтан нәтиже сол — \(0\).