7. Касательные в точках O и B к окружности с центром H пересекаются под углом 56°. Найдите угол OBH. Ответ дайте в градусах.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Касательные в точках O и B к окружности с центром H пересекаются под углом 56°. Найдите угол OBH. Ответ дайте в градусах. Рисунок: окружность с центром H; O — верхняя точка касания, B — нижняя правая; касательные пересекаются справа; проведены радиусы HO, HB и хорда OB.
Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке X. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки A до точки X равно 88. Рисунок: окружность с центром X; из внешней точки A проведены две касательные; при вершине A отмечен угол 60°.
Через точку P, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке N. Другая прямая пересекает окружность в точках E и H, причём PE = 7, PH = 567. Найдите PN. Рисунок: окружность; внешняя точка P; из P выходят касательная PN и секущая P—E—H; E ближе к P, H дальше.
На окружности отмечены точки K и B так, что меньшая дуга KB равна 8°. Прямая BO касается окружности в точке B так, что угол OBK острый. Найдите угол OBK. Ответ дайте в градусах. Рисунок: окружность, точки K и B; через B проведена касательная BO; проведена хорда BK.
На фото четыре задачи — 7–10. Я решил все.
Краткие ответы:
7) \(28^\circ\); 8) \(44\); 9) \(63\); 10) \(4^\circ\).
7. Угол между касательными
Пусть касательные пересекаются в точке \(C\). Радиусы \(HO\) и \(HB\) перпендикулярны касательным, поэтому в четырёхугольнике \(HOCB\):
\[ \angle OHB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-56^\circ=124^\circ. \]
Треугольник \(HOB\) равнобедренный, так как \(HO=HB\). Значит:
\[ \angle OBH=\frac{180^\circ-124^\circ}{2}=28^\circ. \]
8. Радиус по двум касательным
Пусть \(T\) — точка касания. Тогда \(XT\perp AT\). Отрезок \(AX\) делит угол между касательными пополам, поэтому:
\[ \angle TAX=30^\circ. \]
В прямоугольном треугольнике \(AXT\):
\[ XT=AX\sin 30^\circ=88\cdot \frac12=44. \]
9. Касательная и секущая
По теореме о касательной и секущей:
\[ PN^2=PE\cdot PH=7\cdot 567=3969. \]
Отсюда:
\[ PN=\sqrt{3969}=63. \]
10. Угол между касательной и хордой
Угол между касательной \(BO\) и хордой \(BK\) равен половине дуги \(BK\), заключённой внутри угла:
\[ \angle OBK=\frac{8^\circ}{2}=4^\circ. \]
Так как угол острый, берём именно \(4^\circ\), а не \(176^\circ\).
Проверка: \(124^\circ+28^\circ+28^\circ=180^\circ\); \(63^2=3969\); \(2\cdot 4^\circ=8^\circ\).
Обсуждение
4 сообщенияОтветы:
3) \(53^\circ\); 4) \(54\) см; 5) \(162\); 6) \(4\).
3. Угол между касательными
Пусть \(O\) — центр окружности, а \(A\) — вершина угла. Радиусы \(OE\) и \(OP\) перпендикулярны сторонам угла, поэтому:
\[ \angle EOP=360^\circ-90^\circ-90^\circ-74^\circ=106^\circ. \]
Точка \(Z\) лежит на другой дуге, значит угол \(EZP\) опирается на дугу \(EP\) в \(106^\circ\):
\[ \angle EZP=\frac{106^\circ}{2}=53^\circ. \]
4. Радиус по касательной и секущей
Радиус \(MZ\) перпендикулярен касательной \(PZ\), поэтому треугольник \(PMZ\) прямоугольный:
\[ MZ=\sqrt{PM^2-PZ^2} =\sqrt{90^2-72^2} =\sqrt{8100-5184} =\sqrt{2916}=54. \]
Ответ: \(54\) см.
5. Центр окружности на стороне \(PD\)
Радиус окружности:
\[ R=\frac{160}{2}=80. \]
Так как \(OF\perp PF\), треугольник \(POF\) прямоугольный:
\[ PO=\sqrt{PF^2+OF^2} =\sqrt{18^2+80^2} =\sqrt{324+6400} =\sqrt{6724}=82. \]
Центр \(O\) лежит на стороне \(PD\), поэтому:
\[ PD=PO+OD=82+80=162. \]
6. Отрезок от внешней точки до окружности
Радиус \(CO\perp EO\), поэтому треугольник \(ECO\) прямоугольный:
\[ EC=\sqrt{EO^2+CO^2} =\sqrt{12^2+16^2} =\sqrt{144+256}=20. \]
Точка \(P\) лежит на отрезке \(EC\), причём \(CP=16\). Значит:
\[ EP=EC-CP=20-16=4. \]
10 по какой теореме
В задаче 10 использована теорема об угле между касательной и хордой:
Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла.
В задаче 10:
- \(BO\) — касательная,
- \(BK\) — хорда,
- дуга \(BK\) равна \(8^\circ\).
Поэтому:
\[ \angle OBK=\frac{8^\circ}{2}=4^\circ. \]
То есть ответ \(4^\circ\) получается именно по этой теореме.
