Контрольная работа по теме «Квадратные корни. Степени. Квадратный трехчлен» Вариант 1

Question

Реши

Расшифровка фото нейросетью:
Контрольная работа по теме «Квадратные корни. Степени. Квадратный трехчлен»
Вариант 1.

Задание 1. Начертите координатный луч и отметьте на нем точку $A(\sqrt{13})$.

[Рисунок: горизонтальная числовая прямая со стрелкой вправо; отмечены деления и подписи −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.]

Задание 2. Вычислите:
а) $4\sqrt{49}+\frac{1}{6}\sqrt{324}=?$;
б) $\sqrt{12}\cdot(\sqrt{3}-\sqrt{12})=?$;
в) $\sqrt{2^{2}\cdot 5^{4}\cdot 3^{6}}=?$;
г) $3^{-3}\cdot 9^{2}:3^{-2}=?$.

Задание 3. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) $\sqrt{12}$;
б) $\sqrt{\frac{8}{27}}$;
в) $\sqrt{4a}$.

Задание 4. Внесите множитель под знак корня:
а) $2\sqrt{3}$;
б) $\frac{1}{4}\sqrt{32}$;
в) $x\sqrt{12}$.

Задание 5. Найдите значение выражения:
$3a^{5}b^{7}\cdot \frac{2}{3}a^{-3}b^{-6}$, если $a=3$, $b=\frac{1}{2}$.

Задание 6. Разложите на множители:
а) $25x^{2}-1=?$;
б) $8x^{2}+16x=?$.

Answer

Кратко

1. $A(\sqrt{13})$: $3<\sqrt{13}<4$, $\sqrt{13}\approx3{,}61$. Точка на оси между $3$ и $4$, ближе к $4$.

2. а) $31$; б) $-6$; в) $1350$; г) $27$.

3. а) $2\sqrt3$; б) $\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\sqrt6}{9}$; в) $2\sqrt a$, $a\ge0$.

4. а) $\sqrt{12}$; б) $\sqrt2$; в) при $x\ge0$: $\sqrt{12x^2}$, при $x<0$: $-\sqrt{12x^2}$.

5. $9$.

6. а) $(5x-1)(5x+1)$; б) $8x(x+2)$.

Разбор

1. Сравниваем подкоренное число с квадратами:
$$
3^2=9<13<16=4^2,
$$
поэтому $3<\sqrt{13}<4$. Так как $\sqrt{13}\approx3{,}61$, точка стоит чуть правее середины между $3$ и $4$.

2. а) $\sqrt{49}=7$, $\sqrt{324}=18$:
$$
4\cdot7+\frac16\cdot18=28+3=31.
$$

б) Раскрываем скобки:
$$
\sqrt{12}(\sqrt3-\sqrt{12})
=\sqrt{36}-12=6-12=-6.
$$

в) Корень из чётной степени:
$$
\sqrt{2^2\cdot5^4\cdot3^6}
=2\cdot5^2\cdot3^3
=2\cdot25\cdot27=1350.
$$

г) $9^2=(3^2)^2=3^4$, поэтому:
$$
3^{-3}\cdot3^4:3^{-2}
=3^{-3+4-(-2)}
=3^3=27.
$$

3. Вынесение множителя: ищем в подкоренном выражении полный квадрат.
$$
\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3.
$$
$$
\sqrt{\frac{8}{27}}
=\sqrt{\frac{4\cdot2}{9\cdot3}}
=\frac23\sqrt{\frac23}
=\frac{2\sqrt6}{9}.
$$
$$
\sqrt{4a}=2\sqrt a,\quad a\ge0.
$$

4. Внесение множителя:
$$
m\sqrt a=\sqrt{m^2a}\quad\text{при }m\ge0.
$$
а) $2\sqrt3=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt{12}$.

б) $\frac14\sqrt{32}=\sqrt{\frac{1}{16}\cdot32}=\sqrt2$.

в) Если $x\ge0$, то $x\sqrt{12}=\sqrt{12x^2}$. Если $x$ может быть отрицательным, то корень нельзя записать без минуса: $x\sqrt{12}=-\sqrt{12x^2}$.

5. Сначала упрощаем выражение:
$$
3a^5b^7\cdot\frac23a^{-3}b^{-6}
=2a^2b.
$$
Подставляем $a=3$, $b=\frac12$:
$$
2\cdot3^2\cdot\frac12=9.
$$

6. а) Разность квадратов:
$$
25x^2-1=(5x)^2-1^2=(5x-1)(5x+1).
$$

б) Выносим общий множитель:
$$
8x^2+16x=8x(x+2).
$$

Проверка: $(5x-1)(5x+1)=25x^2-1$, а $8x(x+2)=8x^2+16x$.