реши 20.8 и 20.9

Ниже — ответы и ключевые шаги. Везде \(k,n,m\in\mathbb Z\).

В 20.8(2) на фото не видно, стоит ли у первого косинуса квадрат: \(\cos\frac{4x}{3}\) или \(\cos^2\frac{4x}{3}\). От этого зависит решение, поэтому этот пункт пока не решаю по догадке.

20.8

1. \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad x=\frac{\pi n}{5}. \]

2. Нужно уточнение записи первого слагаемого.

3. \[ x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}. \]

4. \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad x=\frac{\pi n}{5}. \]

5. \[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\qquad x=\pm\frac{4\pi}{3}+4\pi n. \]

6. \[ x=\pi n,\qquad x=\frac{9\pi}{2}+9\pi k. \]

20.9

1. \[ x=\frac{\pi n}{8}. \]

2. \[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\qquad x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n. \]

3. \[ x=\frac{\pi n}{2},\qquad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4}. \]

4. \[ x=\frac{\pi n}{14}, \] но \(x\ne\pi m\), то есть \(n\) не должно делиться на 14.

---

Как это получается

20.8 — понижение степени

Используем формулы:

\[ \sin^2 t=\frac{1-\cos2t}{2},\qquad \cos^2 t=\frac{1+\cos2t}{2}. \]

20.8(1)

После понижения степени получаем:

\[ \cos6x+\cos8x=\cos2x+\cos4x. \]

Сумму косинусов превращаем в произведение:

\[ 2\cos7x\cos x=2\cos3x\cos x. \]

Тогда

\[ \cos x(\cos7x-\cos3x)=0, \]

\[ -2\cos x\sin5x\sin2x=0. \]

Отсюда \(\cos x=0\) или \(\sin5x=0\). Корни \(\sin2x=0\) уже входят в эти серии, поэтому отдельно их не пишем.

20.8(3)

\[ \sin^4x+\cos^4x=1-\frac12\sin^22x. \]

Тогда уравнение даёт:

\[ 1-\frac12\sin^22x-\frac58=0, \]

\[ \sin^22x=\frac34. \]

Значит,

\[ 2x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi k, \]

\[ x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}. \]

20.8(4)

После понижения степени получается такое же уравнение, как в 20.8(1):

\[ \cos2x+\cos4x=\cos6x+\cos8x. \]

Поэтому ответ совпадает.

20.8(5)

После умножения на 2:

\[ \cos\frac{3x}{2}+\cos2x+\cos\frac{5x}{2}=0. \]

Группируем первый и третий косинусы:

\[ 2\cos2x\cos\frac{x}{2}+\cos2x=0, \]

\[ \cos2x\left(2\cos\frac{x}{2}+1\right)=0. \]

Отсюда две серии ответов.

20.8(6)

Удобно обозначить \(u=\frac{x}{9}\). Тогда уравнение сводится к

\[ \cos6u+\cos8u=\cos10u+\cos12u. \]

По формуле суммы:

\[ 2\cos7u\cos u=2\cos11u\cos u. \]

Значит,

\[ \cos u(\cos7u-\cos11u)=0. \]

Далее

\[ \cos u\sin9u\sin2u=0. \]

После возврата к \(x\) и объединения повторяющихся серий получаем ответ.

---

20.9 — произведение в сумму

Используем формулы вида

\[ \sin A\cos B=\frac12\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr), \]

\[ \cos A\cos B=\frac12\bigl(\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr). \]

20.9(1)

\[ \sin x\cos x\cos2x\cos8x =\frac18(\sin12x-\sin4x). \]

Тогда уравнение превращается в

\[ -\frac18(\sin12x+\sin4x)=0. \]

То есть

\[ \sin8x\cos4x=0. \]

Но \(\cos4x=0\) уже входит в \(\sin8x=0\), поэтому остаётся только

\[ x=\frac{\pi n}{8}. \]

20.9(2)

\[ 4\cos x\cos2x\cos3x =\cos6x+1+\cos2x+\cos4x. \]

После сокращения \(\cos6x\):

\[ 1+\cos2x+\cos4x=0. \]

Пусть \(t=2x\). Тогда

\[ 1+\cos t+\cos2t=0, \]

\[ \cos t(2\cos t+1)=0. \]

Отсюда получаются две серии ответов.

20.9(3)

\[ \sin x\sin2x\sin3x =\frac14(\sin4x-\sin6x+\sin2x). \]

Тогда

\[ \sin2x-\sin6x=0, \]

\[ \cos4x\sin2x=0. \]

Значит,

\[ x=\frac{\pi n}{2} \quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4}. \]

20.9(4)

Пользуемся тем, что

\[ \cos x\cos2x\cos4x\cos8x =\frac{\sin16x}{16\sin x},\qquad \sin x\ne0. \]

Тогда

\[ \frac{\sin16x}{16\sin x}-\frac18\cos15x=0. \]

После умножения на \(16\sin x\):

\[ \sin16x-2\sin x\cos15x=0. \]

Но

\[ 2\sin x\cos15x=\sin16x-\sin14x, \]

поэтому остаётся

\[ \sin14x=0. \]

Корни \(x=\pi m\) не подходят, так как там \(\sin x=0\). Поэтому

\[ x=\frac{\pi n}{14},\qquad x\ne\pi m. \]

Проверка: во всех пунктах, кроме 20.9(4), преобразования равносильные; в 20.9(4) отдельно исключён случай \(\sin x=0\).

Уточни, пожалуйста, у первого косинуса в 20.8(2) стоит квадрат?