Задание по вероятности

Question

Расшифровка фото нейросетью:
Выпускнику предстоит сдать три экзамена: по математике, по русскому языку и по истории.

Даны три случайных события:

A = {выпускник сдаст экзамен по математике};
B = {выпускник сдаст экзамен по русскому языку};
C = {выпускник сдаст экзамен по истории}.

Нужно выразить через них следующие события:

1. D = {выпускник сдаст все экзамены};

2. E = {выпускник не сдаст все экзамены};

3. F = {выпускник сдаст не все экзамены};

4. G = {выпускник сдаст хотя бы один экзамен};

5. H = {выпускник сдаст хотя бы два экзамена}.

Answer

Кратко

$$
D=A\cap B\cap C
$$

$$
E=\overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{C}
$$

$$
F=\overline{D}=\overline{A\cap B\cap C}
=\overline{A}\cup\overline{B}\cup\overline{C}
$$

$$
G=A\cup B\cup C
$$

$$
H=(A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C)
$$

Как рассуждать

$A\cap B$ — «оба события произошли».

$A\cup B$ — «произошло хотя бы одно».

$\overline{A}$ — «событие $A$ не произошло», то есть экзамен не сдан.

1. D — сдаст все экзамены. Нужно одновременное выполнение $A$, $B$ и $C$:
$$
D=A\cap B\cap C.
$$

2. E — не сдаст все экзамены. Здесь обычно понимают «не сдаст ни одного»:
$$
E=\overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{C}.
$$
Иначе, если понимать как «провалит хотя бы один», это событие совпало бы с $F$.

3. F — сдаст не все экзамены. Это противоположно событию «сдаст все»:
$$
F=\overline{A\cap B\cap C}
=\overline{A}\cup\overline{B}\cup\overline{C}.
$$
То есть хотя бы один экзамен не сдан.

4. G — сдаст хотя бы один экзамен. Это объединение:
$$
G=A\cup B\cup C.
$$
Заметим: $G=\overline{E}$, потому что «сдал хотя бы один» противоположно «не сдал ни одного».

5. H — сдаст хотя бы два экзамена. Достаточно, чтобы выполнялась любая пара:
$$
H=(A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C).
$$
Сюда входит и случай, когда сданы все три экзамена. Если нужно было бы «ровно два», тройное событие пришлось бы исключить.

Проверка: $F$ — дополнение к $D$, а $G$ — дополнение к $E$. Это соответствует смыслу условий.

Задание по вероятности

Обсуждение