154 Случайный эксперимент состоит в измерении количества осадков, выпавших в некотором городе 25 октября. Расположите в порядке убывания вероятностей следующие события:

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
154 Случайный эксперимент состоит в измерении количества осадков, выпавших в некотором городе 25 октября. Расположите в порядке убывания вероятностей следующие события:
A «выпадет менее 2 мм осадков»;
B «выпадет не более 7 мм осадков»;
C «выпадет менее 9 мм осадков»;
D «осадков не будет».

155 Вычислите $P(E\cup F)$, если:
а) $P(E)=0,6$, $P(F)=0,7$ и $P(E\cap F)=0,5$;
б) $P(E)=0,18$, $P(F)=0,72$ и $P(E\cap F)=0,12$.

156 Вычислите вероятность события, если $P(G)=0,7$, $P(H)=0,6$ и $P(G\cap H)=0,4$:
а) $P(G\cup H)$;
б) $P(\overline{G}\cup\overline{H})$.

157 Вычислите вероятность события:
а) $P(S\cap T)$, если $P(S)=0,4$, $P(T)=0,6$, $P(S\cup T)=0,8$;
б) $P(S\cap T)$, если $P(S)=0,7$, $P(T)=0,5$, $P(S\cup T)=0,9$.

158 Известны вероятности двух событий: $P(A)=0,6$, $P(B)=0,2$.
а) Какую наибольшую вероятность может иметь объединение этих событий?
б) Какую наименьшую вероятность может иметь объединение этих событий?
в) Какую наибольшую вероятность может иметь пересечение этих событий?
г) Какую наименьшую вероятность может иметь пересечение этих событий?

Answer

На фото задачи 154–158. Решу их по порядку; главный инструмент — формула сложения вероятностей.

Краткие ответы:

154: $C, B, A, D$.

155: а) $0{,}8$; б) $0{,}78$.

156: а) $0{,}9$; б) $0{,}6$.

157: а) $0{,}2$; б) $0{,}3$.

158: а) $0{,}8$; б) $0{,}6$; в) $0{,}2$; г) $0$.

Ключевые шаги:

154. События вложены: $D\subset A\subset B\subset C$. Если одно событие влечёт другое, его вероятность не больше. Поэтому $P(D)\le P(A)\le P(B)\le P(C)$. В порядке убывания: $C, B, A, D$.

155. Используем формулу
$$
P(E\cup F)=P(E)+P(F)-P(E\cap F).
$$
а) $0{,}6+0{,}7-0{,}5=0{,}8$.
б) $0{,}18+0{,}72-0{,}12=0{,}78$.

156. а) $P(G\cup H)=0{,}7+0{,}6-0{,}4=0{,}9$.
б) $P(\overline{G}\cup\overline{H})=P(\overline{G\cap H})=1-P(G\cap H)=1-0{,}4=0{,}6$.

157. Из той же формулы выражаем пересечение:
$$
P(S\cap T)=P(S)+P(T)-P(S\cup T).
$$
а) $0{,}4+0{,}6-0{,}8=0{,}2$.
б) $0{,}7+0{,}5-0{,}9=0{,}3$.

158. Свойства вероятности:
а) $P(A\cup B)\le P(A)+P(B)=0{,}8$, максимум $0{,}8$ — если события несовместны.
б) $P(A\cup B)\ge \max(P(A),P(B))=0{,}6$, минимум $0{,}6$ — если $B\subset A$.
в) $P(A\cap B)\le \min(P(A),P(B))=0{,}2$, максимум $0{,}2$ — если $B\subset A$.
г) $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\ge 0{,}6+0{,}2-1=-0{,}2$, но вероятность неотрицательна, поэтому минимум $0$ (при несовместных событиях).

Общий принцип: если в задаче есть объединение или пересечение, выписывайте формулу сложения и подставляйте три известные величины. Если даны только две вероятности, используйте оценки: объединение не больше суммы и не меньше максимума; пересечение не больше минимума и не меньше нуля.

Обсуждение