все все все что мы прошли до конца 1 четверти по геометрии (окружность) и алгебре (вектора) вмести в один конспект краткий и понятный

Коротко: в окружности всё держится на дугах и радиусе, а в векторах — на направлении и координатах. Ниже — единый конспект по блокам.

1. Окружность

Главная идея: угол в окружности удобно переводить в дугу, а касательную — в радиус, проведённый в точку касания.

Базовые элементы

• \(O\) — центр, \(R\) — радиус, \(D=2R\) — диаметр.
• Хорда — отрезок между двумя точками окружности; диаметр — самая длинная хорда.
• Дуга — часть окружности; вся окружность \(360^\circ\).

Углы

• Центральный угол: вершина в центре, равен дуге, на которую опирается.
• Вписанный угол: вершина на окружности, стороны — хорды. Он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Следствия:
  • вписанные углы на одну дугу равны;
  • угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\);
  • у вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов \(180^\circ\).

Касательная и секущие

• Касательная в точке \(A\) перпендикулярна радиусу \(OA\).
• Отрезки касательных из одной точки равны.
• Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри угла.
• Если хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в \(M\): \(AM\cdot MB=CM\cdot MD\).
• Если из точки \(M\) проведены касательная \(MT\) и секущая \(MAB\): \(MT^2=MA\cdot MB\).

Окружность и треугольник

• Вписанная окружность: центр — пересечение биссектрис; \(r=\frac{S}{p}\), где \(p\) — полупериметр.
• Описанная окружность: центр — пересечение серединных перпендикуляров; \(R=\frac{abc}{4S}\).
• Для прямоугольного треугольника: \(R=\frac{c}{2}\), \(r=\frac{a+b-c}{2}\).

Четырёхугольник

• Вписать окружность можно, если \(AB+CD=BC+AD\).
• Описать окружность можно, если сумма противоположных углов \(180^\circ\).

Если проходили

• Уравнение окружности: \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\).
• Длина окружности \(C=2\pi R\), площадь круга \(S=\pi R^2\).

Как решать

1. Найди дугу, на которую опирается угол.
2. Центральный угол равен дуге, вписанный — её половине.
3. Есть касательная — проведи радиус в точку касания, получишь прямой угол.
4. Есть две хорды или секущие — запиши произведение отрезков.
5. Проверь: центральный угол в 2 раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу.

2. Векторы

Главная идея: вектор — это сдвиг. В координатах он показывает, на сколько сдвинуться по \(x\) и \(y\), поэтому действия сводятся к арифметике.

Определения

• Вектор \(\vec{a}\) — направленный отрезок; \(|\vec{a}|\) — его длина.
• Нулевой вектор \(\vec{0}\) имеет длину 0.
• Коллинеарные векторы лежат на параллельных прямых или на одной прямой.
• Равные векторы сонаправлены и имеют равные длины.
• \(\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}\).

Действия

• Сложение: правило треугольника или параллелограмма.
• Вычитание: \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\). Из общего начала вектор \(\vec{a}-\vec{b}\) идёт от конца \(\vec{b}\) к концу \(\vec{a}\).
• Умножение на \(k\): длина \(|k||\vec{a}|\); при \(k>0\) направление сохраняется, при \(k<0\) меняется на противоположное.
• Свойства: \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\), \((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\).

Координаты Если \(\vec{a}=(x_1;y_1)\), \(\vec{b}=(x_2;y_2)\):

• \(|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\);
• \(\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2;y_1+y_2)\);
• \(\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2;y_1-y_2)\);
• \(k\vec{a}=(kx_1;ky_1)\);
• \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)\);
• коллинеарность: \(x_1y_2-x_2y_1=0\);
• скалярное произведение: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi\);
• угол: \(\cos\varphi=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\);
• перпендикулярность: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\);
• расстояние между \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\): \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\);
• середина \(AB\): \(\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)\).

Как решать

1. Нарисуй векторы и подпиши направления.
2. Вычитание замени сложением с противоположным вектором.
3. Если есть координаты, считай покоординатно.
4. Проверь: длина неотрицательна; скалярное произведение — число; если оно равно 0, векторы перпендикулярны.

3. Мини-проверка

• Вписанный угол \(35^\circ\) опирается на ту же дугу, что центральный. Центральный равен \(70^\circ\).
• \(\vec{a}=(3;4)\). Тогда \(|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=5\).
• \(\vec{a}=(1;2)\), \(\vec{b}=(2;-1)\). Скалярное произведение: \(1\cdot2+2\cdot(-1)=0\), значит, векторы перпендикулярны.
• У вписанного четырёхугольника противоположные углы \(70^\circ\) и \(110^\circ\) дают в сумме \(180^\circ\) — условие выполнено.

4. Частые ошибки

• Путать центральный и вписанный углы: вписанный — половина центрального, а не наоборот.
• Считать касательную равной радиусу: они перпендикулярны, но не равны.
• Называть \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BA}\) равными: они противоположные.
• Думать, что \(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|\) всегда: это верно только для сонаправленных векторов.
• В скалярном произведении получать вектор: результат — число.

Если скажешь класс и учебник, я подгоню конспект точно под то, что было у вас в первой четверти.