\[y=\frac{1}{3}(x-3)^2+1\] \[y=-x^2-2\] \[y=-\frac{1}{2}(x+3)^2+2\] \[y=2(x-1)^2\]
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
\[y=\frac{1}{3}(x-3)^2+1\] \[y=-x^2-2\] \[y=-\frac{1}{2}(x+3)^2+2\] \[y=2(x-1)^2\]
На фото записаны четыре квадратичные функции. Их графики — параболы. Кратко:
\[ M_1(3;1),\quad M_2(0;-2),\quad M_3(-3;2),\quad M_4(1;0) \]
— это вершины соответственно. У 1-й и 4-й параболы ветви направлены вверх, у 2-й и 3-й — вниз.
| № | Функция | Вершина | Ось симметрии | Ветви | Точки для графика |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(y=\frac{1}{3}(x-3)^2+1\) | \((3;1)\) | \(x=3\) | вверх, шире \(y=x^2\) | \((0;4)\), \((2;\frac{4}{3})\), \((4;\frac{4}{3})\), \((6;4)\) |
| 2 | \(y=-x^2-2\) | \((0;-2)\) | \(x=0\) | вниз, как \(y=x^2\) | \((1;-3)\), \((-1;-3)\), \((2;-6)\) |
| 3 | \(y=-\frac{1}{2}(x+3)^2+2\) | \((-3;2)\) | \(x=-3\) | вниз, шире \(y=x^2\) | \((-5;0)\), \((-4;\frac{3}{2})\), \((-2;\frac{3}{2})\), \((-1;0)\) |
| 4 | \(y=2(x-1)^2\) | \((1;0)\) | \(x=1\) | вверх, уже \(y=x^2\) | \((0;2)\), \((2;2)\), \((3;8)\) |
Почему так. Удобная форма параболы:
\[ y=a(x-m)^2+n \]
Здесь вершина — точка \((m;n)\), а прямая \(x=m\) — ось симметрии. Знак \(a\) показывает направление ветвей: \(a>0\) — вверх, \(a<0\) — вниз. Чем больше \(|a|\), тем уже парабола; чем меньше \(|a|\), тем она шире.
Например, в третьей функции записано \((x+3)^2\), то есть \((x-(-3))^2\), поэтому \(x\)-координата вершины равна \(-3\), а \(y\)-координата — свободное число \(2\).
Как строить похожий график:
- Найди вершину и ось симметрии.
- Возьми 2–3 точки слева и справа от вершины, подставь \(x\) в формулу.
- Нанеси точки и соедини их плавной параболой, а не отрезками.
Проверка. Подстановка координат вершин даёт верные значения: \(x=3\) в первой функции даёт \(y=1\), \(x=-3\) в третьей — \(y=2\), \(x=1\) в четвёртой — \(y=0\).
Нули функции: у 1-й и 2-й их нет; у 3-й \(x=-5\) и \(x=-1\); у 4-й \(x=1\), причём график только касается оси \(Ox\).
Обсуждение
4 сообщенияа как чертить
Чертить параболу удобно по одному алгоритму. Главное правило: считаем не всё подряд, а только «шаги» от вершины.
Алгоритм (подходит ко всем четырём)
- Приведи запись к виду \(y=a(x-m)^2+n\) и выпиши вершину \((m;n)\).
- Проведи пунктиром ось симметрии \(x=m\).
- От вершины откладывай точки вправо и влево на одинаковое число \(t\). Тогда \[ y = n + a\cdot t^2 \] то есть при \(t=1\) прибавка равна \(a\), при \(t=2\) — \(4a\), при \(t=3\) — \(9a\).
- Ставь точки парами (симметрично), соединяй плавной линией, ветви не замыкай.
1. \(y=\frac13(x-3)^2+1\) Вершина \((3;1)\), \(a=\frac13\).
- \(t=1\): \(y=1+\frac13=\frac43\) → точки \((2;\frac43)\) и \((4;\frac43)\)
- \(t=2\): \(y=1+\frac43=\frac73\) → \((1;\frac73)\) и \((5;\frac73)\)
- \(t=3\): \(y=1+3=4\) → \((0;4)\) и \((6;4)\)
2. \(y=-x^2-2\) Вершина \((0;-2)\), \(a=-1\).
- \(t=1\): \(y=-3\) → \((1;-3)\), \((-1;-3)\)
- \(t=2\): \(y=-6\) → \((2;-6)\), \((-2;-6)\) Дальше не бери — уйдёшь за край листа.
3. \(y=-\frac12(x+3)^2+2\) Вершина \((-3;2)\), \(a=-\frac12\).
- \(t=1\): \(y=2-\frac12=\frac32\) → \((-2;\frac32)\), \((-4;\frac32)\)
- \(t=2\): \(y=2-2=0\) → \((-1;0)\), \((-5;0)\)
- \(t=3\): \(y=2-\frac92=-\frac52\) → \((0;-\frac52)\), \((-6;-\frac52)\)
4. \(y=2(x-1)^2\) Вершина \((1;0)\), \(a=2\).
- \(t=1\): \(y=2\) → \((0;2)\), \((2;2)\)
- \(t=2\): \(y=8\) — высоко, можно взять \(t=1{,}5\): \(y=4{,}5\) → \((2{,}5;4{,}5)\), \((-0{,}5;4{,}5)\)
Оформление на листе
- Начерти оси, подпиши \(x\), \(y\), отметь \(0\) и единичный отрезок (обычно 1 клетка).
- Для №1 и №3 вершины смещены, поэтому бери масштаб мельче или располагай график в нужной части плоскости.
- Ветви рисуй от вершины двумя движениями: сначала одна ветвь, потом вторая — так они выйдут симметричными.
- Подпиши у линии её формулу.
Проверка: возьми любую готовую точку и подставь \(x\) в формулу. Например, для №3 при \(x=-1\): \(-\frac12(2)^2+2=0\) — совпало с таблицей.
Продолжаем эту же работу — на листе уже заполнены вершины и оси. Осталось исправить одну ошибку, дозаполнить пятую строку и строить. Главное: твой вертикальный луч — это ось \(Oy\), к ней нужна горизонтальная ось \(Ox\) с началом в точке пересечения.
Исправление. В 4-й строке у \(y=2(x-1)^2\) вершина \((1;0)\), значит ось симметрии \(x=1\), а не \(x=-1\). Запись \((x-1)^2\) — это \((x-1)\), то есть \(m=1\).
Пятая строка: \[ y=x^2+2 \quad\Rightarrow\quad (0;2),\quad x=0 \] Это обычная \(y=x^2\), поднятая на 2 вверх. Точки: \((1;3)\), \((-1;3)\), \((2;6)\), \((-2;6)\).
Проверь себя по таблице:
| Функция | Вершина | Ось |
|---|---|---|
| \(y=\frac13(x-3)^2+1\) | \((3;1)\) | \(x=3\) |
| \(y=-x^2-2\) | \((0;-2)\) | \(x=0\) |
| \(y=\pm\frac12(x+3)^2+2\) | \((-3;2)\) | \(x=-3\) |
| \(y=2(x-1)^2\) | \((1;0)\) | \(x=1\) |
| \(y=x^2+2\) | \((0;2)\) | \(x=0\) |
Обрати внимание на третью функцию: если в условии перед \(\frac12\) стоит минус — ветви вниз, если плюс — вверх. Проверь по учебнику, у тебя в тетради знак читается неоднозначно.
Как строить дальше:
- Проведи горизонтальную ось \(x\), отметь \(0\) и единичный отрезок — удобно 1 клетка = 1 единица.
- От вершины бери симметричные точки: \((m\pm t;\ n+a t^2)\).
- Ветви рисуй плавно, не замыкая сверху или снизу.
Готовые точки для работы:
- \(y=\frac13(x-3)^2+1\): \((2;\frac43)\), \((4;\frac43)\), \((1;\frac73)\), \((5;\frac73)\), \((0;4)\), \((6;4)\) — широкая, ветви вверх.
- \(y=-x^2-2\): \((1;-3)\), \((-1;-3)\), \((2;-6)\), \((-2;-6)\) — узкая, ветви вниз.
- \(y=-\frac12(x+3)^2+2\) (если минус): \((-2;\frac32)\), \((-4;\frac32)\), \((-1;0)\), \((-5;0)\). Если плюс: \((-2;\frac52)\), \((-4;\frac52)\), \((-1;4)\), \((-5;4)\).
- \(y=2(x-1)^2\): \((0;2)\), \((2;2)\), \((2{,}5;4{,}5)\), \((-0{,}5;4{,}5)\).
- \(y=x^2+2\): \((1;3)\), \((-1;3)\), \((2;6)\), \((-2;6)\).
Проверка: подставь \(x=1\) в четвёртую функцию — получится \(y=0\), значит точка \((1;0)\) действительно вершина и лежит на оси \(x\), а график только касается её.
