2. Внес… а) 6√2;
Реши задание на изображении
Краткий ответ: \(6\sqrt{2}=\sqrt{72}\).
Как это работает
Множитель перед корнем вносят под знак корня по правилу:
\[ a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\quad (a\ge 0,\ b\ge 0). \]
То есть множитель сначала возводят в квадрат, а потом умножают на число, которое уже стоит под корнем.
Возводим \(6\) в квадрат: \[ 6^2=36. \]
Умножаем на подкоренное число \(2\): \[ 36\cdot 2=72. \]
Записываем результат под одним корнем: \[ 6\sqrt{2}=\sqrt{72}. \]
Проверка
Обратное действие — вынесение множителя: \[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}. \] Численно: \(6\sqrt{2}\approx 8{,}49\) и \(\sqrt{72}\approx 8{,}49\), значит, ответ верный.
Обсуждение
8 сообщенийвынести множитель под знак корня
Небольшое уточнение по терминам: в заголовке задания стоит «Внеси…» — то есть внести множитель под знак корня. «Вынести» — это обратное действие (\(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)).
Решение пункта а)
Множитель \(6\) возводим в квадрат и умножаем на подкоренное число \(2\):
\[ 6\sqrt{2}=\sqrt{6^2\cdot 2}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}. \]
Проверка: \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}\) — сходится.
Если в задании есть пункты б), в), г) и т. д. — пришли их, разберём по той же схеме: \(a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\).
Ответ: \(3\sqrt{2}<\sqrt{20}\).
Как сравнить
Оба числа положительные, поэтому можно внести множитель \(3\) под знак корня:
\[ 3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}. \]
Теперь сравниваем подкоренные числа:
\[ 18<20 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{18}<\sqrt{20}. \]
Значит,
\[ 3\sqrt{2}<\sqrt{20}. \]
Проверка: \(3\sqrt{2}\approx 4{,}24\), а \(\sqrt{20}\approx 4{,}47\), поэтому первое число действительно меньше.
а почему корень из 20 не узнается?
Скорее всего, ты имеешь в виду: почему \(\sqrt{20}\) не извлекается нацело (не превращается в целое число)?
Потому что 20 — не полный квадрат. Нацело корень извлекается только из чисел \(1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots\) — то есть из квадратов целых чисел. А \(20\) лежит между \(16\) и \(25\):
\[ \sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}\quad\Rightarrow\quad 4<\sqrt{20}<5. \]
Значит, целого ответа нет: \(\sqrt{20}\approx 4{,}47\).
Но частично упростить можно:
\[ \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}=2\sqrt{5}. \]
И это не мешает сравнению — наоборот, удобно: если бы мы приводили к одному виду, получили бы
\[ 3\sqrt{2}=2\sqrt{?} \]
Нет, проще так, как мы уже делали: оба числа загоняем под корень.
\[ 3\sqrt{2}=\sqrt{18},\qquad \sqrt{20}=\sqrt{20}. \]
Сравниваем подкоренные: \(18<20\), поэтому
\[ 3\sqrt{2}<\sqrt{20}. \]
То есть извлекать \(\sqrt{20}\) для сравнения вообще не нужно — достаточно сравнить числа под корнем.
Ответ: \(\sqrt{14}>2\sqrt{3}\).
Как сравнивать
Способ тот же: вносим множитель под знак корня у второго числа.
\[ 2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\cdot 3}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{12}. \]
Теперь оба числа под корнем:
\[ \sqrt{14}\ \text{и}\ \sqrt{12}. \]
Так как \(14>12\), то и
\[ \sqrt{14}>\sqrt{12},\quad\text{то есть}\quad \sqrt{14}>2\sqrt{3}. \]
Проверка: \(\sqrt{14}\approx 3{,}74\), \(2\sqrt{3}\approx 3{,}46\) — первое больше.
Общее правило для таких заданий: приводи оба числа к виду \(\sqrt{n}\) (внести множитель под корень), а потом сравнивай подкоренные числа — чем больше \(n\), тем больше корень.
