538. 1) Длину прямоугольника увеличили на 10% и ширину — на 20%. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

Краткий ответ

№ 538 (подчёркнут на фото): B. На 32%.

Коротко остальные номера этой страницы:

• 536: 1) 15 %; 2) 20 %; 3) 34 %.
• 537: в 1,3 раза; в 1,45 раза; в 1,5 раза.

№ 538 — главное задание

Шаг 1. Введём буквы. Пусть длина была \(a\), ширина \(b\), площадь \(S=ab\).

Шаг 2. Запишем новые размеры. Увеличить на 10 % — значит умножить на \(1+0{,}10=1{,}1\); увеличить на 20 % — умножить на \(1{,}2\): \[ a_{\text{нов}}=1{,}1a,\qquad b_{\text{нов}}=1{,}2b. \]

Шаг 3. Считаем новую площадь: \[ S_{\text{нов}}=1{,}1a\cdot 1{,}2b=1{,}32\,ab=1{,}32S. \]

Шаг 4. Читаем результат. Площадь стала \(1{,}32S\), то есть выросла на \(0{,}32S\) — это \(32\%\) от старой площади.

Проверка на числах. Было \(100\times 50=5000\). Стало \(110\times 60=6600\). Отношение \(6600:5000=1{,}32\) — прирост 32 %. Сходится.

Почему не 30 %? Складывать 10 % и 20 % нельзя: проценты берутся от разных величин, и приросты перемножаются: \[ 1{,}1\cdot 1{,}2=1{,}32 . \] Ошибка «10 + 20 = 30» — как раз вариант D, он и стоит в ловушке.

№ 536 — тот же принцип, обратный ход

Если легковых в \(k\) раз больше, то \[ \text{легковые}=k\cdot\text{грузовые},\qquad \text{прирост}=(k-1)\text{ от грузовых}. \] Значит процент = \((k-1)\cdot 100\%\):

1. \(1{,}15-1=0{,}15\) → 15 %;
2. \(1{,}2-1=0{,}2\) → 20 %;
3. \(1{,}34-1=0{,}34\) → 34 %.

№ 537 — то же самое, только в разах

«\(m\) больше \(n\) на \(p\%\)» означает \(m=n\left(1+\frac{p}{100}\right)\), тогда \[ \frac{m}{n}=1+\frac{p}{100}. \]

• \(p=30\): \(\frac{m}{n}=1{,}3\) — в 1,3 раза;
• \(p=45\): \(1{,}45\) — в 1,45 раза;
• \(p=50\): \(1{,}5\) — в 1,5 раза.

Общее правило для похожих задач: «больше на \(p\%\)» → умножить на \(\left(1+\frac{p}{100}\right)\); «больше в \(k\) раз» → «больше на \((k-1)\cdot100\%\)». Если величину меняют несколько раз подряд, множители перемножаются, а не складываются.