номер 154

Краткий ответ (номер 154)

Смысл модуля здесь один: \(|x|\) — это расстояние от точки \(x\) до нуля на числовой оси. Поэтому:

1. \(|x| < 5 \iff -5 < x < 5\), то есть \(x \in (-5;\,5)\) — выколотые точки \(-5\) и \(5\), штриховка между ними;
2. \(|x| \le 4 \iff -4 \le x \le 4\), то есть \(x \in [-4;\,4]\) — закрашенные точки \(-4\) и \(4\), штриховка между ними;
3. \(|x| \ge 3 \iff x \le -3\) или \(x \ge 3\), то есть \(x \in (-\infty;\,-3] \cup [3;\,+\infty)\) — закрашенные точки \(-3\) и \(3\), штриховка влево и вправо;
4. \(|x| > 2 \iff x < -2\) или \(x > 2\), то есть \(x \in (-\infty;\,-2) \cup (2;\,+\infty)\) — выколотые точки \(-2\) и \(2\), штриховка наружу.

Как это получается

Правило 1. При \(a > 0\) неравенство \(|x| < a\) означает «расстояние до нуля меньше \(a\)» — это все точки внутри промежутка: \[ |x| < a \iff -a < x < a. \]

Правило 2. Неравенство \(|x| > a\) означает «расстояние до нуля больше \(a\)» — это точки, ушедшие далеко влево или далеко вправо: \[ |x| > a \iff x < -a \ \text{или}\ x > a. \]

Правило 3 (про точки на оси). Строгий знак (\(<\), \(>\)) — граничная точка выколотая, скобка круглая. Нестрогий знак (\(\le\), \(\ge\)) — точка закрашенная, скобка квадратная. Сама штриховка показывает, где неравенство выполняется.

Например, для 3) число \(-10\) подходит: \(|-10| = 10 \ge 3\). А число \(0\) не подходит: \(|0| = 0 < 3\), поэтому середина оси остаётся незаштрихованной.

Проверка

• \(|4| = 4 < 5\) — да, \(4\) попадает в \((-5;\,5)\);
• \(|4| = 4 \le 4\) — да, точка \(4\) входит в ответ (знак нестрогий);
• \(|3| = 3 \ge 3\) — да, точка \(3\) входит;
• \(|2| = 2 > 2\) — нет, равенства быть не может, поэтому \(2\) выколота.