1. Уравнение движения точки по прямой имеет вид x = A + Bt + Ct³ (A = 4 м, B = 2 м/с, C = 0,2 м/с³). Найдите среднюю скорость за промежуток времени от 2 до 5 с.

В работе два номера — решаю оба.

Кратко:

1. Средняя скорость: \(9{,}8\) м/с.
2. \(a_n=19{,}6\) м/с², \(a_\tau=1{,}2\) м/с², \(a\approx19{,}6\) м/с².

1. Средняя скорость

Дано: \[ x(t)=4+2t+0{,}2t^3. \]

Средняя скорость — это изменение координаты, делённое на время: \[ v_{\text{ср}}=\frac{x(5)-x(2)}{5-2}. \]

\[ x(2)=4+2\cdot2+0{,}2\cdot2^3=9{,}6\ \text{м}, \] \[ x(5)=4+2\cdot5+0{,}2\cdot5^3=39\ \text{м}. \]

\[ v_{\text{ср}}=\frac{39-9{,}6}{3} =\frac{29{,}4}{3}=9{,}8\ \text{м/с}. \]

Скорость \[ v(t)=x'(t)=2+0{,}6t^2 \] положительна на всём промежутке, поэтому точка не поворачивает назад. Значит, путь равен перемещению.

Важно: нельзя брать среднее арифметическое скоростей \(v(2)\) и \(v(5)\) — скорость меняется нелинейно.

2. Ускорения точек на ободе

Угловая скорость: \[ \omega=\varphi'=2+3t^2. \]

Угловое ускорение: \[ \varepsilon=\omega'=6t. \]

При \(t=2\) с: \[ \omega(2)=2+3\cdot2^2=14\ \text{рад/с}, \] \[ \varepsilon(2)=6\cdot2=12\ \text{рад/с}^2. \]

Нормальное ускорение: \[ a_n=\omega^2R=14^2\cdot0{,}1=19{,}6\ \text{м/с}^2. \]

Тангенциальное ускорение: \[ a_\tau=\varepsilon R=12\cdot0{,}1=1{,}2\ \text{м/с}^2. \]

Полное ускорение: \[ a=\sqrt{a_n^2+a_\tau^2} =\sqrt{19{,}6^2+1{,}2^2} =\sqrt{385{,}6} \approx19{,}6\ \text{м/с}^2. \]

Нормальное ускорение направлено к центру колеса, тангенциальное — по касательной. Вектор полного ускорения отклонён от радиуса примерно на \(3{,}5^\circ\).

Проверка: \(19{,}6^2+1{,}2^2=385{,}6\), корень равен примерно \(19{,}64\), то есть округлённо \(19{,}6\) м/с².