1. Уравнение движения точки по прямой имеет вид x = A + Bt + Ct³ (A = 4 м, B = 2 м/с, C = 0,2 м/с³). Найдите среднюю скорость за промежуток времени от 2 до 5 с.

Кратко: в задаче 1 средняя скорость равна \(9{,}8\) м/с; в задаче 2 при \(t=2\) с: \[ a_n=19{,}6\ \text{м/с}^2,\qquad a_\tau=1{,}2\ \text{м/с}^2,\qquad a\approx19{,}6\ \text{м/с}^2. \]

На фото полностью читаются задачи 1 и 2; условие третьей обрезано.

1. Средняя скорость

Сначала найдём мгновенную скорость: \[ v(t)=x'(t)=B+3Ct^2=2+0{,}6t^2. \] На промежутке от 2 до 5 с скорость положительна, значит, точка не меняет направление движения. Поэтому средняя скорость — это перемещение, делённое на время: \[ \langle v\rangle=\frac{x(5)-x(2)}{5-2}. \]

Считаем: \[ x(2)=4+2\cdot2+0{,}2\cdot8=9{,}6\ \text{м}, \] \[ x(5)=4+2\cdot5+0{,}2\cdot125=39\ \text{м}. \] Тогда \[ \langle v\rangle=\frac{39-9{,}6}{3}=9{,}8\ \text{м/с}. \]

Ответ: \(9{,}8\) м/с.

Принцип: средняя скорость находится через изменение координаты, а мгновенную скорость получаем дифференцированием \(x(t)\).

2. Ускорения точек на ободе

Угловая скорость: \[ \omega=\varphi'(t)=2+3t^2. \] При \(t=2\) с: \[ \omega=2+3\cdot4=14\ \text{рад/с}. \]

Угловое ускорение: \[ \varepsilon=\omega'(t)=6t. \] При \(t=2\) с: \[ \varepsilon=12\ \text{рад/с}^2. \]

Для точки на ободе радиусом \(R=0{,}1\) м: \[ a_n=\omega^2R=14^2\cdot0{,}1=19{,}6\ \text{м/с}^2, \] \[ a_\tau=\varepsilon R=12\cdot0{,}1=1{,}2\ \text{м/с}^2. \]

Полное ускорение: \[ a=\sqrt{a_n^2+a_\tau^2} =\sqrt{19{,}6^2+1{,}2^2} \approx19{,}6\ \text{м/с}^2. \]

Ответ: \[ a_n=19{,}6\ \text{м/с}^2,\quad a_\tau=1{,}2\ \text{м/с}^2,\quad a\approx19{,}6\ \text{м/с}^2. \]

Принцип для похожих задач: при вращении \(\omega=\varphi'\), \(\varepsilon=\omega'\), затем \(a_n=\omega^2R\), \(a_\tau=\varepsilon R\).