Номер 29

Question

Номер 29

Расшифровка фото нейросетью:
29. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите её:
а) $\frac{3a+12b}{6ab}$;
б) $\frac{15b-20c}{10b}$;
в) $\frac{2a-4}{3(a-2)}$;
г) $\frac{5x(y+2)}{6y+12}$;
д) $\frac{a-3b}{a^2-3ab}$;
е) $\frac{3x^2+15xy}{x+5y}$.

Answer

Краткий ответ

$$
\text{а) }\frac{a+4b}{2ab}\qquad \text{б) }\frac{3b-4c}{2b}\qquad \text{в) }\frac{2}{3}
$$
$$
\text{г) }\frac{5x}{6}\qquad \text{д) }\frac{1}{a}\qquad \text{е) }3x
$$

Главный принцип

Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на их общий множитель. Поэтому сначала раскладываем на множители, а потом «убираем» одинаковые скобки или числа.

Ключевое правило: сокращать можно только множители, а не слагаемые. Запись $\frac{3a+12b}{6ab}$ — это не $\frac{3a}{6ab}+\frac{12b}{6ab}$, а одно выражение, где числитель сначала надо свернуть в произведение.

Разбор по пунктам

а) Числитель: $3a+12b=3(a+4b)$. Знаменатель: $6ab=3\cdot 2ab$. Общий множитель — $3$:
$$
\frac{3(a+4b)}{3\cdot 2ab}=\frac{a+4b}{2ab}
$$

б) $15b-20c=5(3b-4c)$, а $10b=5\cdot 2b$:
$$
\frac{5(3b-4c)}{5\cdot 2b}=\frac{3b-4c}{2b}
$$

в) $2a-4=2(a-2)$, знаменатель уже разложен:
$$
\frac{2(a-2)}{3(a-2)}=\frac{2}{3}
$$

г) Знаменатель: $6y+12=6(y+2)$. Числитель уже произведение:
$$
\frac{5x(y+2)}{6(y+2)}=\frac{5x}{6}
$$

д) Знаменатель: $a^2-3ab=a(a-3b)$:
$$
\frac{a-3b}{a(a-3b)}=\frac{1}{a}
$$

е) Числитель: $3x^2+15xy=3x(x+5y)$:
$$
\frac{3x(x+5y)}{x+5y}=3x
$$

Проверка

Сокращение легко проверить обратным действием — вернуть общий множитель:
$$
\frac{a+4b}{2ab}=\frac{3(a+4b)}{6ab}
$$
— получилось исходное выражение, значит, верно. Так же проверяются остальные пункты, например $\frac{2}{3}\cdot\frac{a-2}{a-2}=\frac{2a-4}{3(a-2)}$.

Не забывай про допустимые значения: в пункте в) $a\neq 2$, в г) $y\neq -2$, в д) $a\neq 0$ и $a\neq 3b$, в е) $x\neq -5y$ — именно на них знаменатель обращается в ноль.