82 Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте внутреннюю точку M грани AA1B1B. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку M параллельно:

Коротко. Через точку \(M\) проводим след секущей плоскости в грани \(AA_1B_1B\), а затем продолжаем его по соседним граням. Во всех пунктах получаются параллелограммы; в прямоугольном параллелепипеде — прямоугольники.

• а) сечение \(EFGH\), где \(E\in AA_1,\ F\in BB_1,\ G\in CC_1,\ H\in DD_1\);
• б) сечение \(PQRS\), где \(P\in AB,\ Q\in A_1B_1,\ R\in C_1D_1,\ S\in CD\);
• в) сечение \(XYTZ\), где \(X\in AB,\ Y\in A_1B_1,\ T\in A_1D_1,\ Z\in AD\).

Точка \(M\) лежит соответственно на \(EF\), \(PQ\), \(XY\).

Построение.

а) Плоскость сечения параллельна \((ABCD)\).

1. В грани \(AA_1B_1B\) через \(M\) проведи \(EF\parallel AB\), \(E\in AA_1,\ F\in BB_1\).
2. В грани \(AA_1D_1D\) через \(E\) проведи \(EH\parallel AD\), \(H\in DD_1\).
3. В грани \(BB_1C_1C\) через \(F\) проведи \(FG\parallel BC\), \(G\in CC_1\).
4. Соедини \(G\) и \(H\).
   Сечение — \(EFGH\).

Оно параллельно основанию, потому что содержит две пересекающиеся прямые \(EF\parallel AB\) и \(EH\parallel AD\).

б) Плоскость сечения параллельна \((BB_1C_1C)\).

1. В грани \(AA_1B_1B\) через \(M\) проведи \(PQ\parallel BB_1\), \(P\in AB,\ Q\in A_1B_1\).
2. В основании через \(P\) проведи \(PS\parallel BC\), \(S\in CD\).
3. В верхней грани через \(Q\) проведи \(QR\parallel B_1C_1\), \(R\in C_1D_1\).
4. Соедини \(R\) и \(S\).
   Сечение — \(PQRS\).

Здесь две пересекающиеся прямые сечения \(PQ\parallel BB_1\) и \(PS\parallel BC\), поэтому плоскость сечения параллельна грани \(BB_1C_1C\).

в) Плоскость сечения параллельна \((BDD_1)\).
Плоскость \(BDD_1\) содержит \(BB_1\) и \(BD\).

1. В грани \(AA_1B_1B\) через \(M\) проведи \(XY\parallel BB_1\), \(X\in AB,\ Y\in A_1B_1\).
2. В основании через \(X\) проведи \(XZ\parallel BD\), \(Z\in AD\).
3. В верхней грани через \(Y\) проведи \(YT\parallel B_1D_1\), \(T\in A_1D_1\).
4. Соедини \(T\) и \(Z\).
   Сечение — \(XYTZ\).

При этом \(XZ\parallel BD\), а \(XY\parallel BB_1\parallel DD_1\), значит плоскость \(XYTZ\) параллельна плоскости \(BDD_1\).

Проверка. В каждом пункте \(M\) лежит на первом построенном отрезке, поэтому секущая плоскость действительно проходит через \(M\). Противоположные стороны построенных четырёхугольников параллельны, значит это параллелограммы.