Реши задание на изображении

Краткий ответ: верный вариант — третий: \(E \subset F\).

Как рассуждать

1. Определи роли. Здесь оба объекта — множества, а не элемент и множество. Поэтому знак \(\in\) («принадлежит») не подходит: он ставится между элементом и множеством.
2. Вспомни знак включения. Знак \(\subset\) читается «является подмножеством», «содержится в».
3. Соблюдай порядок. Слева пишется то множество, которое входит в другое, справа — то, которое его содержит: \[ \text{подмножество} \subset \text{множество} \] Значит, «\(E\) — подмножество \(F\)» записывается как \(E \subset F\).

Почему остальные варианты не подходят

• \(E \in F\) и \(F \in E\) — знак \(\in\) говорит о принадлежности элемента множеству, а не одного множества другому.
• \(F \subset E\) — направление перевёрнуто: это значило бы «\(F\) — подмножество \(E\)», то есть наоборот.

Проверка

Читаем \(E \subset F\) слева направо: «\(E\) является подмножеством \(F\)» — ровно то, что нужно по условию. ✅

Подсказка на будущее: в таких заданиях сначала смотри, что с чем сравнивают — элемент с множеством (тогда \(\in\)) или множество с множеством (тогда \(\subset\)), и только потом проверяй порядок букв: меньшая часть стоит слева, «широкая» — справа, как в записи \(\text{маленькое} \subset \text{большое}\).

Это продолжение той же темы — разбираем следующее задание из того же набора.

Краткий ответ: верный вариант — второй: \(105 \notin C\).

Как рассуждать

1. Определи роли. Число \(105\) — это элемент, а \(C\) — множество. Значит, между ними нужен знак принадлежности.
2. Учти отрицание. В утверждении сказано «не принадлежит», поэтому знак должен быть перечёркнутым: \(\notin\) (а не \(\in\)).
3. Соблюдай порядок. Слева всегда стоит элемент, справа — множество: \[ \text{элемент} \notin \text{множество} \] Получаем \(105 \notin C\).

Почему остальные варианты не подходят

• \(105 \in C\) — это противоположное утверждение: «105 принадлежит \(C\)».
• \(C \in 105\) и \(C \notin 105\) — здесь перепутаны роли: множество \(C\) оказалось бы элементом числа \(105\), а число — не множество.

Проверка

Читаем \(105 \notin C\) слева направо: «сто пять не принадлежит множеству \(C\)» — в точности условие. ✅

Связь с прошлым заданием: принцип тот же — сначала отличаем элемент от множества, потом ставим нужный знак и следим за порядком. Здесь добавился только один шаг: выбрать отрицательный знак \(\notin\) вместо \(\in\).

Это продолжение той же темы — теперь проверяем, какое из множеств является подмножеством \(\mathbb{N}\).

Краткий ответ: верный вариант — третий: \(\{7, 87, 140, 301\}\).

Как рассуждать

1. Вспомни, что такое \(\mathbb{N}\). В школьном курсе \(\mathbb{N}\) — множество натуральных чисел: \[ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\} \] То есть это целые числа, больше нуля.
2. Проверь каждый элемент. Множество является подмножеством \(\mathbb{N}\), если все его элементы — натуральные числа. Достаточно одного «чужого» числа, чтобы ответ не подошёл.

Проверка вариантов

• \(\{-10, 5, 27, 103\}\) — есть отрицательное число \(-10\), а таких в \(\mathbb{N}\) нет. ❌
• \(\{0, 13, 27, 256\}\) — все числа целые и неотрицательные, но здесь стоит \(0\), а нуль не является натуральным числом в школьном определении. ❌
• \(\{7, 87, 140, 301\}\) — все четыре числа целые и положительные, значит каждое принадлежит \(\mathbb{N}\). ✅

Запись ответа

\[ \{7, 87, 140, 301\} \subset \mathbb{N} \]

Подсказка на будущее: в заданиях на подмножества проверяй элементы по «фильтрам» множества: для \(\mathbb{N}\) — нет минусов, нет нуля, нет дробей; для \(\mathbb{Z}\) — минусы уже разрешены; для \(\mathbb{Q}\) — разрешены и дроби. Достаточно одного неподходящего элемента, чтобы вариант отпал.

Это продолжение той же темы — теперь набор заданий на подмножества множества \(\mathbb{Z}\).

Краткий ответ: верный вариант — первый: \(\{-15, 0, 37, 456\}\).

Как рассуждать

1. Вспомни, что такое \(\mathbb{Z}\). Это множество целых чисел: \[ \mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\} \] Здесь разрешены и отрицательные числа, и нуль, а запрещены дроби — ни обыкновенные, ни десятичные.
2. Проверь все элементы. Множество будет подмножеством \(\mathbb{Z}\), только если каждое его число целое. Одного дробного числа достаточно, чтобы вариант отпал.

Проверка вариантов

• \(\{-15, 0, 37, 456\}\) — минус, нуль и положительные числа, все целые. ✅
• \(\{-10, -2\frac{5}{7}, 0, 3\}\) — число \(-2\frac{5}{7}\) не целое, значит этот элемент не принадлежит \(\mathbb{Z}\). ❌
• \(\{11, 37, 87\frac{4}{9}, 115\frac{3}{7}\}\) — две смешанные дроби, они тоже не целые. ❌

Запись ответа

\[ \{-15, 0, 37, 456\} \subset \mathbb{Z} \]

Связь с прошлым заданием: там мы отбрасывали нуль и минусы, потому что речь шла о \(\mathbb{N}\). Здесь множество «шире»: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\), поэтому нуль и отрицательные числа уже подходят, а единственный «фильтр» — отсутствие дробей.

Это продолжение той же темы — следующая ступень: подмножества множества \(\mathbb{Q}\).

Краткий ответ: верный вариант — второй: \(\left\{-2,\ \frac{1}{2},\ 9\frac{3}{4},\ 11\right\}\).

Как рассуждать

1. Вспомни, что такое \(\mathbb{Q}\). Это множество рациональных чисел — тех, которые можно записать в виде дроби: \[ \mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{N}\right\} \] Сюда входят все целые числа, обыкновенные и конечные десятичные дроби, а также периодические.
2. Найди «фильтр». Из чисел вне \(\mathbb{Q}\) в школьном курсе чаще всего встречается \(\pi\) (а также \(\sqrt{2}\), \(e\)). Они иррациональные — в виде дроби \(\frac{m}{n}\) их записать нельзя.
3. Проверь все элементы. Достаточно одного иррационального числа, чтобы вариант отпал.

Проверка вариантов

• \(\{1,\ \pi,\ 99,\ 409\}\) — среди чисел есть \(\pi\), оно иррационально. ❌
• \(\left\{-2,\ \frac{1}{2},\ 9\frac{3}{4},\ 11\right\}\) — \(-2\) и \(11\) целые, а дроби приводимы к виду \(\frac{m}{n}\): \[ 9\frac{3}{4} = \frac{39}{4} \] Все элементы рациональны. ✅
• \(\left\{-13,\ 0,\ \frac{\pi}{5},\ 109\right\}\) — число \(\frac{\pi}{5}\) тоже иррационально: деление иррационального на натуральное не делает его рациональным. ❌

Запись ответа

\[ \left\{-2,\ \frac{1}{2},\ 9\frac{3}{4},\ 11\right\} \subset \mathbb{Q} \]

Связь с прошлыми заданиями: множества расширяются, и «фильтр» становится мягче:

• для \(\mathbb{N}\) отбрасывали минусы, нуль и дроби;
• для \(\mathbb{Z}\) — только дроби;
• для \(\mathbb{Q}\) — только иррациональные числа.

Поэтому смешанное число вроде \(9\frac{3}{4}\) здесь уже подходит, а \(\pi\) — никогда.

Это продолжение той же темы — снова подмножества, только теперь один набор \(M\) и пять вопросов к нему.

Краткий ответ:

Общий принцип

Дано: \[ M=\{3,\ 12,\ 18\} \] Множество \(M\) является подмножеством другого множества, только если каждый его элемент входит в это множество. Достаточно одного «неподходящего» числа, чтобы ответ был «нет».

Разбор по вопросам

1. Натуральные числа, кратные 3 — да. Проверяем делимость: \[ 3=3\cdot1,\qquad 12=3\cdot4,\qquad 18=3\cdot6 \] Все три числа натуральные и делятся на 3, значит \[ M\subset\{n\in\mathbb{N}\mid n\ \vdots\ 3\} \]

2. Целые числа, большие 3 — нет. Число \(3\) не больше \(3\), ведь неравенство строгое. Значит, \(3\notin\{4,5,6,\dots\}\), и всё множество \(M\) подмножеством не является. \[ 3\notin\{z\in\mathbb{Z}\mid z>3\}\ \Rightarrow\ M\not\subset\{z\in\mathbb{Z}\mid z>3\} \] Если бы было сказано «не меньших 3» или \([3;+\infty)\), ответ был бы «да».

3. Отрезок \([2;23]\) — да. Проверяем каждое число: \[ 2\le3\le23,\qquad 2\le12\le23,\qquad 2\le18\le23 \] Все элементы попадают в отрезок, поэтому \(M\subset[2;23]\).

4. Чётные числа — нет. Числа \(12\) и \(18\) чётные, но \(3\) — нечётное. Одного такого элемента достаточно: \[ 3\notin\{2k\mid k\in\mathbb{Z}\}\ \Rightarrow\ M\not\subset\text{(чётные)} \]

5. Простые числа — нет. Число \(3\) простое, а вот \(12\) и \(18\) — составные: \[ 12=2\cdot6,\qquad 18=2\cdot9 \] Значит, не все элементы \(M\) простые, и подмножеством множества простых чисел \(M\) не является.

Проверка: «да» получилось только там, где все три числа прошли фильтр — кратность 3 и попадание в отрезок. В остальных случаях хотя бы одно число нарушало условие.

Это продолжение той же темы — теперь про пустые множества (из того же раздела теории множеств).

Краткий ответ: пустыми являются первое и последнее множества.

Как рассуждать

Множество пустое, если в нём нет ни одного элемента. Значит, для каждого варианта нужно ответить на вопрос: «можно ли привести хотя бы один пример?» Если да — множество непустое.

Разбор по вариантам

1. Треугольники, сумма углов которых равна \(190^\circ\) — пустое. В евклидовой геометрии сумма углов любого треугольника строго равна \(180^\circ\): \[ \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ \] Треугольника с суммой \(190^\circ\) не существует, поэтому множество пусто, \(\varnothing\).

2. Все прямоугольные треугольники — непустое. Достаточно одного примера: треугольник с катетами \(3\) и \(4\) и гипотенузой \(5\) — прямоугольный. Значит, множество непустое.

3. Натуральные числа, кратные 3 — непустое. Например, \(3=3\cdot1\), \(6=3\cdot2\), \(9=3\cdot3\) — элементов бесконечно много.

4. Духовые инструменты — непустое. Флейта, труба, саксофон — это реально существующие объекты.

5. Решения уравнения \(x=x+2\) — пустое. Вычтем \(x\) из обеих частей: \[ x=x+2\ \Longrightarrow\ 0=2 \] Получили ложное равенство, значит ни одно число не подходит и множество решений пусто, \(\varnothing\).

Проверка

«Ловушка» здесь — первый вариант: число \(190\) выглядит «почти как \(180\)», но именно из-за этого отличие множество и становится пустым. В пятом варианте ловушка в том, что уравнение выглядит решаемым, а после упрощения противоречие очевидно.

Подсказка на будущее: чтобы проверить множество на пустоту, ищи один конкретный пример элемента. Нашёл — множество непустое; доказал, что пример невозможен (противоречие в условии) — пустое.

Правильные варианты — первый и последний:

✅ «Множество треугольников, сумма углов которых равна \(190^\circ\)» — пустое. В любом (плоском) треугольнике сумма углов строго равна \(180^\circ\), поэтому треугольника с суммой \(190^\circ\) не существует: \[ \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ\ne190^\circ \]

✅ «Множество решений уравнения \(x=x+2\)» — пустое. Вычтем \(x\) из обеих частей: \[ x=x+2 \;\Longrightarrow\; 0=2 \] Получилось ложное равенство — ни одно число не подходит, решений нет.

Почему остальные не пустые

• Прямоугольные треугольники — есть, например катеты \(3\) и \(4\), гипотенуза \(5\).
• Натуральные числа, кратные \(3\) — есть: \(3,\ 6,\ 9,\dots\)
• Духовые инструменты — есть: флейта, труба, саксофон.

Ответ совпадает с тем, что мы разобрали раньше: отмечай первое и последнее поле.