Показательные неравенства. Решить неравенство (228—229).

На слайде несколько номеров, поэтому я разобрал все видимые: 228, 229, 231 и 234 (232 в кадре нет).

Краткие ответы

• 228: 1) \(x>2\); 2) \(x<2\); 3) \(x>-\frac12\); 4) \(x<-\frac12\); 5) \(x\ge-\frac15\); 6) \(x>3\).
• 229: 1) \(x<\frac32\); 2) \(x>4\); 3) \(x\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)\); 4) \(x\in(-3;3)\).
• 231: 1) \(x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)\); 2) \(x\in\left[\frac12;1\right]\); 3) \(x\in(1;2)\); 4) \(x\in\left(-\frac23;\frac12\right)\).
• 234: 1) \(x\in[0;+\infty)\); 2) \(x\in[0;+\infty)\).

Главное правило

Показательное неравенство сводят к одному основанию:

\[ a^{f(x)}>a^{g(x)}. \]

• если \(a>1\), то знак неравенства сохраняется: \(f(x)>g(x)\);
• если \(0<a<1\), то знак неравенства меняется на противоположный: \(f(x)<g(x)\).

228

1. \(3^x>9=3^2\), основание \(3>1\), поэтому
   \[ x>2. \]

2. \(\left(\frac12\right)^x>\frac14=\left(\frac12\right)^2\), основание меньше \(1\), знак меняется:
   \[ x<2. \]

3. \(\left(\frac14\right)^x=2^{-2x}\), поэтому
   \[ 2^{-2x}<2^1 \Rightarrow -2x<1 \Rightarrow x>-\frac12. \]

4. \(4^x=2^{2x}\), а \(\frac12=2^{-1}\):
   \[ 2x<-1 \Rightarrow x<-\frac12. \]

5. \(\frac12=2^{-1}\):
   \[ 2^{5x}\ge2^{-1} \Rightarrow 5x\ge-1 \Rightarrow x\ge-\frac15. \]

6. \(\frac19=\left(\frac13\right)^2\), основание меньше \(1\):
   \[ x-1>2 \Rightarrow x>3. \]

229

1. \(\sqrt5=5^{1/2}\):
   \[ x-1<\frac12 \Rightarrow x<\frac32. \]

2. \(9=3^2\):
   \[ \frac{x}{2}>2 \Rightarrow x>4. \]

3. \(1=3^0\):
   \[ x^2-4\ge0 \Rightarrow x\le-2 \text{ или } x\ge2. \]

4. \(1=5^0\):
   \[ 2x^2-18<0 \Rightarrow x^2<9 \Rightarrow -3<x<3. \]

231

1. \(4=2^2\):
   \[ -x^2+3x<2. \] \[ x^2-3x+2>0 \Rightarrow (x-1)(x-2)>0. \] Значит, \(x<1\) или \(x>2\).

2. \(\frac97=\left(\frac79\right)^{-1}\), основание \(\frac79<1\), знак меняется:
   \[ 2x^2-3x\le-1. \] \[ 2x^2-3x+1\le0 \Rightarrow \frac12\le x\le1. \]

3. \(\frac{121}{169}=\left(\frac{11}{13}\right)^2=\left(\frac{13}{11}\right)^{-2}\), основание больше \(1\):
   \[ x^2-3x<-2. \] \[ x^2-3x+2<0 \Rightarrow 1<x<2. \]

4. \(2\frac23=\frac83\), \(7\frac19=\frac{64}{9}=\left(\frac83\right)^2\), основание больше \(1\):
   \[ 6x^2+x<2. \] \[ 6x^2+x-2<0 \Rightarrow (3x+2)(2x-1)<0, \] поэтому \[ -\frac23<x<\frac12. \]

234

1. \(y=\sqrt{25^x-5^x}\). Нужно: \[ 25^x-5^x\ge0. \] Обозначим \(t=5^x>0\). Тогда \(25^x=t^2\): \[ t^2-t\ge0 \Rightarrow t(t-1)\ge0. \] Так как \(t>0\), получаем \(t\ge1\), то есть \[ 5^x\ge1=5^0 \Rightarrow x\ge0. \]

2. \(y=\sqrt{4^x-1}\): \[ 4^x-1\ge0 \Rightarrow 4^x\ge1=4^0 \Rightarrow x\ge0. \]

Проверка границ: в 228(5) при \(x=-\frac15\) получается \(\frac12\ge\frac12\), поэтому точка входит. В 231(2) при \(x=1\): \(\left(\frac79\right)^{-1}=\frac97\), поэтому \(1\) входит. В 234 при \(x=0\) под корнем получается \(0\), значит \(0\) тоже входит. Там, где неравенство строгое, границы не включаются.