Найдите корни квадратного трёхчлена и разложите его на множители: 1. x² - 6x + 8 = 0 2. x² + 5x + 6 = 0 3. 2x² - 10x + 12 = 0

Краткий ответ

Правило: \(ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})\), где \(x_{1},x_{2}\) — корни трёхчлена.

Задание 1. 1) \(x_{1}=4,\ x_{2}=2\), \((x-4)(x-2)\); 2) \(x_{1}=-2,\ x_{2}=-3\), \((x+2)(x+3)\); 3) \(x_{1}=2,\ x_{2}=3\), \(2(x-2)(x-3)\).

Задание 2. 1) \(3(x+1)(x+2)\); 2) \(2(x-3)(x+1)\); 3) \(-(x-2)^{2}\).

Задание 3. 1) \((x+3)^{2}\); 2) \((x-4)(x+4)\); 3) \((2x-3)^{2}\); 4) на множители не раскладывается (\(D<0\)).

Задание 4. 1) \((x-4)(x+3)\); 2) \((x+5)(x-3)\); 3) \((x+4)^{2}\).

Как это получается

Корни ищем через дискриминант \(D=b^{2}-4ac\), \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\), или по теореме Виета: \(x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\), \(x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}\). Затем подставляем корни в \(a(x-x_{1})(x-x_{2})\).

Задание 1 — находим корни и раскладываем

1. \(x^{2}-6x+8=0\): \(D=36-32=4\), \(x=\frac{6\pm 2}{2}=4;\ 2\), значит \((x-4)(x-2)\).

2. \(x^{2}+5x+6=0\): \(D=25-24=1\), \(x=\frac{-5\pm 1}{2}=-2;\ -3\), значит \((x+2)(x+3)\).

3. \(2x^{2}-10x+12=0\): сначала делим на 2 — \(x^{2}-5x+6=0\), корни \(2\) и \(3\). Множитель \(a=2\) сохраняем: \(2(x-2)(x-3)\).

Задание 2 — сначала общий множитель

1. \(3x^{2}+9x+6=3(x^{2}+3x+2)=3(x+1)(x+2)\) — корни \(-1\) и \(-2\).
2. \(2x^{2}-4x-6=2(x^{2}-2x-3)=2(x-3)(x+1)\) — корни \(3\) и \(-1\).
3. \(-x^{2}+4x-4=-(x^{2}-4x+4)=-(x-2)^{2}\) — здесь сразу виден квадрат разности.

Задание 3 — формулы сокращённого умножения

1. \(x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}\) — квадрат суммы.
2. \(x^{2}-16=(x-4)(x+4)\) — разность квадратов.
3. \(4x^{2}-12x+9=(2x)^{2}-2\cdot 2x\cdot 3+3^{2}=(2x-3)^{2}\).
4. \(x^{2}+4x+5\): \(D=16-20=-4<0\), корней нет — разложение невозможно (можно лишь \(x^{2}+4x+5=(x+2)^{2}+1\)).

Задание 4 — корни с разными знаками

1. \(x^{2}-x-12\): \(x_{1}+x_{2}=1\), \(x_{1}x_{2}=-12\) → \(4\) и \(-3\), то есть \((x-4)(x+3)\).
2. \(x^{2}+2x-15\): сумма \(-2\), произведение \(-15\) → \(-5\) и \(3\), то есть \((x+5)(x-3)\).
3. \(x^{2}+8x+16=(x+4)^{2}\) — снова квадрат суммы.

Проверка

Раскроем скобки в двух примерах: \((x-4)(x-2)=x^{2}-2x-4x+8=x^{2}-6x+8\) — верно; \(-(x-2)^{2}=-(x^{2}-4x+4)=-x^{2}+4x-4\) — верно. Так можно проверять любой ответ.