УПРАЖНЕНИЕ 13 1. Какова масса 0,5 л воды; бензина; масла машинного?

Разбираю упражнение 13, пункты 1–6. Беру школьные табличные плотности: воды — \(1000\ \text{кг/м}^3\), бензина — \(710\ \text{кг/м}^3\), керосина — \(800\ \text{кг/м}^3\), машинного масла — \(900\ \text{кг/м}^3\), мрамора — \(2700\ \text{кг/м}^3\), меди — \(8900\ \text{кг/м}^3\), дерева-сосны — \(400\ \text{кг/м}^3\).

Краткие ответы

1. Вода — \(0{,}5\) кг; бензин — \(0{,}355\) кг; масло — \(0{,}45\) кг.
2. Масса керосина примерно в \(3{,}4\) раза больше массы бензина.
3. Объём бензобака \(0{,}045\ \text{м}^3\), то есть около \(45\) л.
4. Масса воды \(15\) кг.
5. Объём мраморной глыбы \(2{,}5\ \text{м}^3\).
6. \(m_{\text{дер}}\approx 0{,}045M\), если плотность дерева \(400\ \text{кг/м}^3\).

Ключевая идея

Плотность показывает массу единицы объёма: \[ \rho=\frac{m}{V}. \] Отсюда: \[ m=\rho V,\qquad V=\frac{m}{\rho}. \]

Если вещество одно и то же, то \(\rho\) постоянно. Значит, при увеличении объёма в \(k\) раз масса тоже увеличивается в \(k\) раз. Это и есть прямо пропорциональная зависимость \(m\) от \(V\). Для двух тел одинакового объёма: \[ \frac{m_1}{m_2}=\frac{\rho_1}{\rho_2}. \]

Решения по шагам

1. \(0{,}5\) л \(=0{,}0005\ \text{м}^3\). \[ m_{\text{воды}}=1000\cdot0{,}0005=0{,}5\ \text{кг} \] \[ m_{\text{бензина}}=710\cdot0{,}0005=0{,}355\ \text{кг} \] \[ m_{\text{масла}}=900\cdot0{,}0005=0{,}45\ \text{кг} \]

2. Пусть объём бензина \(V\), тогда объём керосина \(3V\). \[ \frac{m_{\text{керосина}}}{m_{\text{бензина}}} =\frac{800\cdot3V}{710\cdot V} =\frac{2400}{710}\approx3{,}38. \] Керосина по массе примерно в \(3{,}4\) раза больше.

3. \[ V=\frac{m}{\rho}=\frac{32}{710}\approx0{,}0451\ \text{м}^3. \] В литрах: \[ 0{,}0451\cdot1000\approx45{,}1\ \text{л}. \] Практически около \(45\) л.

4. Объём воды: \[ V=30\cdot20\cdot25=15000\ \text{см}^3=0{,}015\ \text{м}^3. \] \[ m=1000\cdot0{,}015=15\ \text{кг}. \]

5. \(6{,}75\ \text{т}=6750\ \text{кг}\). \[ V=\frac{6750}{2700}=2{,}5\ \text{м}^3. \]

6. Детали одинакового размера, значит, объёмы равны. Поэтому: \[ \frac{m_{\text{дер}}}{M}=\frac{\rho_{\text{дер}}}{\rho_{\text{меди}}}. \] Для сосны: \[ m_{\text{дер}}=M\cdot\frac{400}{8900}\approx0{,}045M. \] То есть деревянная деталь будет примерно в \(22\) раза легче медной. Если в вашей таблице плотность дерева другая, подставьте её в эту формулу.

Проверка: \(0{,}5\) л воды действительно имеют массу \(0{,}5\) кг; в аквариуме \(15\) л воды, значит, \(15\) кг; для бензобака \(32\ \text{кг}/0{,}045\ \text{м}^3\approx711\ \text{кг/м}^3\), что соответствует бензину.