Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1=2,\qquad x_2=3 \]

(На фото — разворот про линейную функцию, задания 315–319; самого уравнения там нет, поэтому решаю по тексту.)

Как это получается

1. Определяем коэффициенты. Уравнение имеет вид \(ax^2+bx+c=0\), значит:

\[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6 \]

2. Способ через теорему Виета (для \(a=1\) он самый быстрый). Для приведённого уравнения

\[ x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5,\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=6 \]

То есть нужны два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6. Это 2 и 3.

3. Способ через дискриминант (работает всегда).

\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

Так как \(D>0\), корней два:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

4. Почему это одно и то же. Уравнение раскладывается на множители:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю: \(x-2=0\) или \(x-3=0\).

5. Проверка.

\[ 2^2-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \] \[ 3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип для похожих заданий: сначала приведи уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\) и аккуратно выпиши \(a\), \(b\), \(c\) со знаками. Если \(a=1\) и числа небольшие — ищи корни по Виету (сумма \(=-b\), произведение \(=c\)). Если не подбирается — считай \(D=b^2-4ac\): при \(D>0\) два корня, при \(D=0\) один, при \(D<0\) корней нет.