Сделай номер 257 и 262 под а

Кратко: №257 — \(15\) км/ч; №262(а) — \(\frac{a+y}{a-y}\) при \(a\ne y,\;2b+y\ne0\).

№257

Пусть \(x\) км/ч — скорость катера в стоячей воде. Тогда:

• по течению скорость катера \(x+3\) км/ч;
• против течения \(x-3\) км/ч.

Время на путь по течению: \(\frac{36}{x+3}\), против течения: \(\frac{48}{x-3}\). Всего катер шёл \(6\) ч:

\[ \frac{36}{x+3}+\frac{48}{x-3}=6. \]

Умножим обе части на \((x+3)(x-3)\):

\[ 36(x-3)+48(x+3)=6(x^2-9). \]

Раскрываем скобки:

\[ 84x+36=6x^2-54, \]

\[ x^2-14x-15=0. \]

Корни:

\[ (x-15)(x+1)=0, \]

значит \(x=15\) или \(x=-1\). Скорость должна быть положительной и больше \(3\) км/ч, поэтому \(x=15\).

Проверка: по течению \(36:(15+3)=2\) ч, против течения \(48:(15-3)=4\) ч, всего \(2+4=6\) ч.

Ответ: \(15\) км/ч.

№262(а)

\[ \frac{2ab+2by+ay+y^2}{2ab-2by+ay-y^2} \]

Раскладываем числитель на множители:

\[ 2ab+2by+ay+y^2=2b(a+y)+y(a+y)=(a+y)(2b+y). \]

Раскладываем знаменатель:

\[ 2ab-2by+ay-y^2=2b(a-y)+y(a-y)=(a-y)(2b+y). \]

Тогда:

\[ \frac{2ab+2by+ay+y^2}{2ab-2by+ay-y^2} = \frac{(a+y)(2b+y)}{(a-y)(2b+y)} = \frac{a+y}{a-y}. \]

Главное: сокращать дробь можно только после разложения числителя и знаменателя на множители. Отдельные слагаемые «вычёркивать» нельзя.

Ответ: \(\frac{a+y}{a-y}\), при \(a\ne y\) и \(2b+y\ne0\).