как решить?
Короткий ответ
\[ 5^{13}\cdot\left(\frac{3}{1}\right)^{13}=15^{13} \]
Какое правило здесь работает
При умножении степеней с одинаковым показателем основания перемножают, а показатель сохраняют:
\[ a^n\cdot b^n=(ab)^n \]
Шаги решения
- Сначала упрощаем скобку: \(\frac{3}{1}=3\), поэтому \[ 5^{13}\cdot\left(\frac{3}{1}\right)^{13}=5^{13}\cdot 3^{13}. \]
- Показатели одинаковые (оба равны 13), значит применяем правило: \[ 5^{13}\cdot 3^{13}=(5\cdot 3)^{13}. \]
- Считаем основание: \(5\cdot 3=15\), получаем \[ 15^{13}. \]
Почему правило верно
\(5^{13}\) — это 13 множителей, каждый равен 5, а \(3^{13}\) — 13 множителей, каждый равен 3. Всего 26 множителей, и их можно разбить на 13 пар «пятёрка · тройка»: \[ (5\cdot 3)\cdot(5\cdot 3)\cdot\ldots\cdot(5\cdot 3)=15^{13}. \]
Проверка на маленьких числах
\[ 2^3\cdot 5^3=8\cdot 125=1000=10^3=(2\cdot 5)^3 \] — правило сходится.
Частая ошибка
Нельзя перемножать показатели (получилось бы \(15^{26}\)) и нельзя писать \(13^{13}\): основание — это произведение \(5\cdot 3=15\), а показатель остаётся прежним, 13.
Если показатели были бы разными, правило напрямую не работает: например, \(5^{13}\cdot 3^{12}=3\cdot(5\cdot 3)^{12}=3\cdot 15^{12}\).
Потренируйся: \(2^{8}\cdot 5^{8}=10^{8}\), \(6^{7}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{7}=2^{7}\).
