Докажите, что масса тела, изготовленного из данного вещества, прямо пропорциональна его объёму.

Кратко: для одного и того же вещества плотность \(\rho=\frac{m}{V}\) постоянна, поэтому \(m=\rho V\). Значит, масса прямо пропорциональна объёму: во сколько раз больше объём, во столько же раз больше масса.

Беру школьные плотности: вода — 1000, бензин — 710, машинное масло — 900, керосин — 800, мрамор — 2700, медь — 8900, сосна — 400 кг/м³. В разных таблицах значения могут немного отличаться — ход решения тот же.

Краткие ответы

• Упр. 13, №1.
  Вода: \(0{,}5\) кг.
  Бензин: \(\approx 0{,}36\) кг.
  Машинное масло: \(0{,}45\) кг.

• Упр. 13, №2.
  Масса керосина примерно в \(3{,}4\) раза больше массы бензина.

• Задание 19, №3.
  Объём бензобака \(\approx 0{,}045\) м³, то есть около \(45\) л.

• Задание 19, №4.
  Масса воды в аквариуме \(15\) кг.

• Задание 19, №5.
  Объём мраморной глыбы \(2{,}5\) м³.

• Задание 19, №6.
  Масса деревянной детали
  \[ m=M\cdot\frac{\rho_{\text{дерева}}}{8900}. \] Если дерево — сосна, то \(m\approx 0{,}045M\), то есть примерно в \(22\) раза меньше.

Как это получается

Основная формула: \[ m=\rho V,\qquad V=\frac{m}{\rho}. \]

Упр. 13, №1.
\[ 0{,}5\text{ л}=0{,}0005\text{ м}^3. \] Тогда: \[ m_{\text{воды}}=1000\cdot0{,}0005=0{,}5\text{ кг}, \] \[ m_{\text{бензина}}=710\cdot0{,}0005=0{,}355\text{ кг}, \] \[ m_{\text{масла}}=900\cdot0{,}0005=0{,}45\text{ кг}. \]

Упр. 13, №2.
Объём керосина в \(3\) раза больше: \[ \frac{m_{\text{керосина}}}{m_{\text{бензина}}} =\frac{800\cdot3V}{710\cdot V} =\frac{2400}{710}\approx3{,}38. \]

Задание 19, №3. \[ V=\frac{m}{\rho}=\frac{32}{710}\approx0{,}045\text{ м}^3. \] В литрах: \(0{,}045\cdot1000\approx45\) л.

Задание 19, №4.
Объём воды: \[ V=30\cdot20\cdot25=15000\text{ см}^3=0{,}015\text{ м}^3. \] Масса: \[ m=1000\cdot0{,}015=15\text{ кг}. \]

Задание 19, №5.
\[ 6{,}75\text{ т}=6750\text{ кг}, \] \[ V=\frac{6750}{2700}=2{,}5\text{ м}^3. \]

Задание 19, №6.
Объём детали: \[ V=\frac{M}{8900}. \] Масса такой же по объёму деревянной детали: \[ m_{\text{дер}}=\rho_{\text{дер}}\cdot V =M\cdot\frac{\rho_{\text{дер}}}{8900}. \] Для сосны: \[ m_{\text{дер}}\approx M\cdot\frac{400}{8900}\approx0{,}045M. \]

Проверка: \(15\) кг воды занимают \(15\) л, а \(30\cdot20\cdot25=15000\) см³ — это и есть \(15\) л. Для мрамора \(2{,}5\cdot2700=6750\) кг. Расчёты сходятся.

По заданию 19 №2: нужно взвесить пустой стакан, затем стакан с водой до метки и стакан с молоком до той же метки. При одинаковом объёме отношение плотностей равно отношению масс жидкостей. №1 — творческое задание по таблицам 3–5, одного числового ответа у него нет.