250 номер

Краткий ответ: искомая дробь — \(\frac{12}{18}\) (её значение \(\frac{2}{3}\), но условию «знаменатель на 6 больше числителя» соответствует именно запись \(\frac{12}{18}\)).

Решение

Пусть числитель равен \(x\). Тогда знаменатель на 6 больше:

\[ \frac{x}{x+6}. \]

После изменений получаем дробь:

\[ \frac{x-2}{x+8}. \]

Она меньше исходной на \(\frac16\), значит:

\[ \frac{x}{x+6}-\frac{x-2}{x+8}=\frac16. \]

Приведём левую часть к общему знаменателю:

\[ \frac{x(x+8)-(x-2)(x+6)}{(x+6)(x+8)}=\frac16. \]

В числителе:

\[ x^2+8x-(x^2+4x-12)=4x+12=4(x+3). \]

Получаем:

\[ \frac{4(x+3)}{(x+6)(x+8)}=\frac16. \]

Умножим крест-накрест:

\[ 24(x+3)=(x+6)(x+8). \]

Раскрываем скобки:

\[ 24x+72=x^2+14x+48, \]

\[ x^2-10x-24=0. \]

Корни:

\[ x_1=12,\qquad x_2=-2. \]

Числитель обыкновенной дроби должен быть натуральным, поэтому \(x=-2\) не подходит.

Значит:

\[ x=12,\qquad x+6=18. \]

Проверка:

\[ \frac{12}{18}-\frac{10}{20} =\frac23-\frac12 =\frac46-\frac36 =\frac16. \]

Всё сходится. Ответ: \(\boxed{\frac{12}{18}}\).