Контрольная работа № 1 Функции и их свойства
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Контрольная работа № 1 Функции и их свойства Вариант 1
Дана функция \(y = -4x + 1\). При каких значениях аргумента \(f(x) = 0\), \(f(x) < 0\), \(f(x) > 0\)? Является ли эта функция возрастающей или убывающей? Ответ объясните.
Найдите область определения функции:
- \(y = \sqrt{5x - 2}\); 2) \(y = \frac{1}{2x^2 - 5x - 3}\).
Постройте график функции \(y = x^2 + 4x - 5\). С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.
Каждый график соотнесите с соответствующей формулой [Таблица из двух столбцов: «Графики» и «Формулы». В левом столбце три рисунка в координатных плоскостях с сеткой: А) — гипербола, ветвь в левой верхней части и ветвь в правой нижней части, оси подписаны x и y, начало координат отмечено O; Б) — кривая, выходящая из начала координат и идущая вправо-вверх, постепенно выполаживаясь; В) — кривая, проходящая через начало координат и круто поднимающаяся вправо-вверх. В правом столбце формулы: 1) \(y = |x|\); 2) \(y = x^3\); 3) \(y = -\frac{1}{x}\); 4) \(y = \sqrt{x}\); 5) \(y = x^2\); 6) \(y = \frac{1}{x}\).] Ответ: [таблица с пустыми ячейками под буквами А, Б, В]
(Дополнительное задание). При каком значении p прямая \(y = -2x + p\) имеет с параболой \(y = x^2 + 2x\) ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки.
Краткие ответы
- \(f(x)=0\) при \(x=\frac14\); \(f(x)<0\) при \(x>\frac14\); \(f(x)>0\) при \(x<\frac14\). Функция убывает.
- \(\left[\frac25;+\infty\right)\); 2) \(\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(-\frac12;3\right)\cup(3;+\infty)\).
- \(y=(x+2)^2-9\), вершина \((-2;-9)\); нули \(x=-5\) и \(x=1\); \(y>0\) при \(x<-5\) и \(x>1\), \(y<0\) при \(-5<x<1\); убывает на \((-\infty;-2]\), возрастает на \([-2;+\infty)\); \(y_{\min}=-9\), наибольшего значения нет.
- А — 3, Б — 4, В — 2.
- \(p=-4\), общая точка \((-2;0)\).
Как это получается
1. Линейная функция \(y=-4x+1\)
Решаем три уравнения/неравенства — это просто «места» графика относительно оси \(Ox\):
\[ -4x+1=0 \Rightarrow x=\frac14;\qquad -4x+1<0 \Rightarrow x>\frac14;\qquad -4x+1>0 \Rightarrow x<\frac14. \]
Проверка подстановкой: при \(x=1\) (\(>\frac14\)) получаем \(y=-3<0\) — верно.
Про возрастание смотрим на коэффициент при \(x\): \(k=-4<0\). Чем больше \(x\), тем меньше \(y\) (например, \(f(0)=1\), а \(f(1)=-3\)), значит функция убывающая. Общее правило: \(y=kx+b\) возрастает при \(k>0\), убывает при \(k<0\).
2. Область определения
Корень чётной степени: подкоренное выражение неотрицательно. \[ 5x-2\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac25 . \]
Дробь: знаменатель не равен нулю. \[ 2x^2-5x-3=0,\quad D=25+24=49,\quad x=\frac{5\pm 7}{4}, \] то есть \(x=3\) и \(x=-\frac12\). Эти два числа «выкалываем» из прямой.
Принцип: для каждого ограничения (корень, дробь, логарифм) выписываем своё условие и берём пересечение.
3. Парабола \(y=x^2+4x-5\)
Выделяем полный квадрат: \(x^2+4x-5=(x+2)^2-9\). Отсюда вершина \((-2;-9)\), ветви вверх, ось симметрии \(x=-2\).
Нули: \(x^2+4x-5=0\), по теореме Виета \(x_1=-5,\ x_2=1\). Дополнительно точка пересечения с осью \(Oy\): \((0;-5)\) и симметричная ей \((-4;-5)\).
- а) \(D(y)=\mathbb{R}\), \(E(y)=[-9;+\infty)\) — ветви вверх, ниже вершины график не опускается;
- б) нули: \(x=-5,\ x=1\);
- в) выше оси \(Ox\): \(x\in(-\infty;-5)\cup(1;+\infty)\); ниже: \(x\in(-5;1)\);
- г) до вершины (слева) функция убывает, после — возрастает: убывание на \((-\infty;-2]\), возрастание на \([-2;+\infty)\);
- д) \(y_{\min}=y(-2)=-9\); сверху график не ограничен, наибольшего значения нет.
4. Соответствие графиков и формул
Смотрим на «опознавательные признаки»:
- А — гипербола, ветви во II и IV четвертях, значит коэффициент отрицательный: \(y=-\frac1x\) (формула 3). У \(y=\frac1x\) ветви были бы в I и III четвертях.
- Б — кривая начинается в начале координат и идёт вправо-вверх, замедляя рост: \(y=\sqrt{x}\) (формула 4), так как \(x\ge 0\).
- В — кривая проходит через начало координат и круто растёт, симметрична относительно \(O\): \(y=x^3\) (формула 2).
5. Касание прямой и параболы
Общие точки — решения системы, то есть корни уравнения \[ x^2+2x=-2x+p \Rightarrow x^2+4x-p=0. \] Ровно одна общая точка \(\Leftrightarrow\) квадратное уравнение имеет один корень \(\Leftrightarrow D=0\): \[ D=16+4p=0 \Rightarrow p=-4. \] Тогда \(x=-\frac{4}{2}=-2\), а \(y=(-2)^2+2\cdot(-2)=0\).
Проверка: прямая \(y=-2x-4\) при \(x=-2\) даёт \(y=0\) — точка \((-2;0)\) лежит и на параболе. ✔
Вывод-принцип: «сколько общих точек» = «сколько корней у уравнения»; один корень — дискриминант равен нулю.
