Контрольная работа № 1 по теме «Уравнения с одной переменной» Вариант 1 1. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней:

По фото решаю видимые пункты 1, 2, 3, 5, 6.

Краткие ответы

1. а) \(-1\); б) \(0\).
2. а) \(-9,\ 0,\ 9\); б) \(\frac14\).
3. а) \(-\sqrt3,\ \sqrt3\).
4. а) \(x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\).
5. \(10\) км/ч.

1. Линейное и квадратное уравнения

а)
\[ -9+x=3x-7 \] Переносим слагаемые: \[ x-3x=-7+9 \] \[ -2x=2 \] \[ x=-1 \]

б)
\[ 4x^2-3x+7=2x^2+x+7 \] Приводим подобные: \[ 2x^2-4x=0 \] Выносим общий множитель: \[ 2x(x-2)=0 \] Отсюда: \[ x=0 \quad \text{или} \quad x=2 \] По условию нужен меньший корень, значит ответ \(0\).

Принцип: если в уравнении есть общий множитель, выносим его, а не делим на \(x\), иначе можно потерять корень \(x=0\).

2. Уравнения с кубами

а)
\[ x^3-81x=0 \] \[ x(x^2-81)=0 \] \[ x(x-9)(x+9)=0 \] Корни: \[ x=-9,\quad x=0,\quad x=9 \]

б)
\[ 4x^3-x^2+36x-9=0 \] Группируем: \[ (4x^3-x^2)+(36x-9)=0 \] \[ x^2(4x-1)+9(4x-1)=0 \] \[ (4x-1)(x^2+9)=0 \] Так как \(x^2+9>0\) при любом действительном \(x\), остаётся: \[ 4x-1=0 \] \[ x=\frac14 \]

Принцип: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

3. Биквадратное уравнение

\[ x^4+6x^2-27=0 \]

Вводим замену: \[ t=x^2,\quad t\ge 0 \] Получаем: \[ t^2+6t-27=0 \] \[ D=36+108=144 \] \[ t=\frac{-6\pm12}{2} \] То есть: \[ t=3 \quad \text{или} \quad t=-9 \] Но \(t=x^2\ge0\), поэтому \(t=-9\) не подходит.

Значит: \[ x^2=3 \] \[ x=\pm\sqrt3 \]

Принцип: после замены обязательно учитываем условие \(t\ge0\).

5. Дробное рациональное уравнение

\[ \frac{5}{x-1}+\frac{30}{x+1}=5 \]

Сначала ОДЗ: \[ x\ne1,\quad x\ne-1 \]

Умножаем обе части на \((x-1)(x+1)\): \[ 5(x+1)+30(x-1)=5(x^2-1) \] Раскрываем скобки: \[ 5x+5+30x-30=5x^2-5 \] \[ 35x-25=5x^2-5 \] \[ 5x^2-35x+20=0 \] Делим на 5: \[ x^2-7x+4=0 \] Дискриминант: \[ D=49-16=33 \] \[ x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2} \] Оба корня не равны \(\pm1\), значит оба подходят.

Принцип: в дробных уравнениях сначала находим ОДЗ, затем проверяем, не попали ли найденные корни в запрещённые значения.

6. Задача на движение

Пусть скорость второго велосипедиста, который пришёл вторым, равна \(v\) км/ч.
Тогда скорость первого: \[ v+10 \] Время второго: \[ \frac{60}{v} \] Время первого: \[ \frac{60}{v+10} \] Первый приехал на 3 часа раньше, значит: \[ \frac{60}{v}-\frac{60}{v+10}=3 \] Умножаем на \(v(v+10)\): \[ 60(v+10)-60v=3v(v+10) \] \[ 600=3v^2+30v \] \[ v^2+10v-200=0 \] \[ (v-10)(v+20)=0 \] Так как скорость положительна: \[ v=10 \] Тогда скорость первого: \[ 10+10=20 \text{ км/ч} \]

Проверка: второй едет \(60:10=6\) ч, первый — \(60:20=3\) ч; разница действительно 3 часа.

Ответ: \(10\) км/ч.