реши эти примеры пожалуйста

Ответы: а) \(100\,000\); б) \(1\); в) \(0{,}04\); г) \(6{,}25\); д) \(1\); е) \(81\).

Что здесь нужно знать

1. Одинаковый показатель — разные основания: \(a^{n}\cdot b^{n}=(ab)^{n}\). Читается в обе стороны: можно и «слить» степени, и «раздвинуть» их.
2. Одинаковое основание: \(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\), \(\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\), \((a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\).
3. Десятичные дроби удобно переводить в обыкновенные: \(0{,}2=\frac{1}{5}\), \(0{,}4=\frac{2}{5}\), \(2{,}5=\frac{5}{2}\), \(25=5^{2}\), \(81=3^{4}\), \(9=3^{2}\).

Решение по пунктам

а) Показатели равны, значит сливаем основания: \[4^{5}\cdot 2{,}5^{5}=(4\cdot 2{,}5)^{5}=10^{5}=100\,000.\] Проверка: \(1\,024\cdot 97{,}65625=100\,000\) — сходится.

б) Снова одинаковые показатели: \[\left(\frac{1}{3}\right)^{13}\cdot 3^{13}=\left(\frac{1}{3}\cdot 3\right)^{13}=1^{13}=1.\]

в) Показатели разные, поэтому сначала «уравниваем» их и выносим лишнее: \[0{,}2^{9}\cdot 5^{7}=0{,}2^{2}\cdot\left(0{,}2^{7}\cdot 5^{7}\right)=0{,}04\cdot(0{,}2\cdot 5)^{7}=0{,}04\cdot 1=0{,}04.\] То же через дроби: \(\left(\frac{1}{5}\right)^{9}\cdot 5^{7}=5^{-9}\cdot 5^{7}=5^{-2}=\frac{1}{25}=0{,}04\).

г) Здесь \(0{,}4\cdot 2{,}5=1\) — это и есть идея: \[0{,}4^{10}\cdot 2{,}5^{12}=0{,}4^{10}\cdot 2{,}5^{10}\cdot 2{,}5^{2}=(0{,}4\cdot 2{,}5)^{10}\cdot 6{,}25=1\cdot 6{,}25=6{,}25.\]

д) Замечаем, что \(0{,}2^{2}=0{,}04\) и \(0{,}04\cdot 25=1\): \[0{,}2^{6}\cdot 25^{3}=(0{,}2^{2})^{3}\cdot 25^{3}=(0{,}04\cdot 25)^{3}=1^{3}=1.\] Короткий вариант: \(25^{3}=(5^{2})^{3}=5^{6}\), тогда \(0{,}2^{6}\cdot 5^{6}=(0{,}2\cdot 5)^{6}=1\).

е) Здесь основания разные, но оба — степени тройки: \[\left(\frac{1}{9}\right)^{6}=\frac{1}{9^{6}}=\frac{1}{(3^{2})^{6}}=\frac{1}{3^{12}},\qquad 81^{4}=(3^{4})^{4}=3^{16}.\] Делим степени с одним основанием — показатели вычитаем: \[\frac{3^{16}}{3^{12}}=3^{16-12}=3^{4}=81.\]

Вывод-алгоритм для похожих заданий

1. Посмотри на показатели: равны — сливай основания в произведение; разные — разложи число на степень «удобного» числа (\(25=5^{2}\), \(81=3^{4}\), \(9=3^{2}\)).
2. Десятичные дроби переводи в обыкновенные — так видно сокращение.
3. Ищи пары, дающие в произведении \(1\) или \(10\): \(0{,}4\cdot 2{,}5=1\), \(0{,}2\cdot 5=1\), \(4\cdot 2{,}5=10\).
4. В конце одно основание, один показатель — считай значение.