640 Найдите отношение отрезков AB и CD, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах?

На фото три номера — 640, 641 и 642. Кратко:

• №640: \(AB:CD=3:4\); при переводе в миллиметры отношение не изменится.
• №641: а) нет; б) нет; в) да.
• №642: утверждение верно — \(BD:DC=AB:AC\).

№640

\[ \frac{AB}{CD}=\frac{15}{20}=\frac34 \]

То есть \(AB:CD=3:4\).

В миллиметрах:

\[ 15\text{ см}=150\text{ мм},\qquad 20\text{ см}=200\text{ мм} \]

\[ \frac{AB}{CD}=\frac{150}{200}=\frac34 \]

Отношение не изменилось, потому что обе длины умножили на одно и то же число \(10\), и оно сократилось.

№641

По делениям рисунка:

\[ AB:BC:CD=3:2:6,\qquad MM_1:M_1M_2=3:8 \]

Тогда:

\[ AC=AB+BC=3+2=5 \]

\[ BD=BC+CD=2+6=8,\qquad MM_2=MM_1+M_1M_2=3+8=11 \]

а)
\[ AC:CD=5:6, \] а \[ M_1M_2:MM_1=8:3. \] Отношения не равны — нет.

б)
Сравниваем тройки: \[ AB:BC:CD=3:2:6, \] \[ MM_2:MM_1:M_1M_2=11:3:8. \] Они не одинаковы — нет.

в)
\[ AB:BD=3:8, \] \[ MM_1:M_1M_2=3:8. \] Отношения равны, значит, отрезки пропорциональны — да.

№642

Пусть \(AD\) — биссектриса угла \(A\) треугольника \(ABC\), точка \(D\) лежит на \(BC\).

Нужно доказать:

\[ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC} \]

или, в другой записи из учебника,

\[ \frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}. \]

Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(ACD\).

У них общая высота, проведённая из вершины \(A\) к прямой \(BC\), поэтому их площади относятся как основания:

\[ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{DC}. \]

С другой стороны, у этих треугольников равны углы при вершине \(A\), потому что \(AD\) — биссектриса. По теореме об отношении площадей треугольников с равным углом:

\[ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB\cdot AD}{AC\cdot AD} = \frac{AB}{AC}. \]

Следовательно,

\[ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}. \]

Значит, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Что и требовалось доказать.