1. Смежные и вертикальные углы. Прямые AB и CD пересекаются в O; угол 1 больше угла 2 на 30°.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Смежные и вертикальные углы. Прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются в \(O\); угол 1 больше угла 2 на \(30^\circ\). Найди все четыре угла при \(O\). Углы 1 и 2 отмечены дугами.
Ответ: \(\angle 1=___^\circ\); \(\angle 2=___^\circ\); \(\angle 3=___^\circ\); \(\angle 4=___^\circ\).
[Рисунок: горизонтальная прямая \(AB\); наклонная прямая \(CD\) проходит через точку \(O\) на \(AB\); A — слева, B — справа, C — вверху справа, D — внизу слева. Обозначены углы: 1 — между \(OA\) и \(OC\), 2 — между \(OC\) и \(OB\), 4 — между \(OA\) и \(OD\), 3 — между \(OD\) и \(OB\).]
- Треугольник и перпендикуляр. По данным на рисунке (\(AB=7\) см, \(AC=4\) см, \(\angle BAC=45^\circ\)) соедини B и C. Из A проведи луч \(AK\) перпендикулярно \(AB\), по ту же сторону от \(AB\), что и C. Найди \(\angle KAC\) и \(\angle KAB\).
Ответ: \(\angle KAC=___^\circ\); \(\angle KAB=___^\circ\).
[Рисунок: точки A, B, C; A — слева, B — справа, C — вверху справа; проведены \(AB\) и \(AC\), \(BC\) не проведён; на \(AB\) указано 7 см, на \(AC\) — 4 см, угол между \(AB\) и \(AC\) отмечен \(45^\circ\).]
- Треугольник, биссектриса и смежный угол. \(AB=AC=5\) см, \(\angle BAC=40^\circ\). Дострой сторону \(BC\). Как называется этот треугольник по сторонам? Проведи биссектрису \(AD\) угла A (D на \(BC\)). Продли \(BA\) за A до E. Найди \(\angle BAD\) и \(\angle EAC\).
Вид: ____________. \(\angle BAD=___^\circ\); \(\angle EAC=___^\circ\).
[Рисунок: из точки A выходят лучи \(AB\) вправо и \(AC\) вверх-вправо; \(AB\) и \(AC\) отмечены по 5 см; угол между ними \(40^\circ\); отрезок \(BC\) не проведён.]
Схемы не в масштабе. Дострой чертежи на карточке; вычисления запиши в тетради. Без доказательств.
Краткие ответы
- \(\angle 1=105^\circ,\ \angle 2=75^\circ,\ \angle 3=105^\circ,\ \angle 4=75^\circ\).
- \(\angle KAC=45^\circ,\ \angle KAB=90^\circ\).
- Вид — равнобедренный; \(\angle BAD=20^\circ,\ \angle EAC=140^\circ\).
Как это получить
1. Смежные и вертикальные углы.
Углы 1 и 2 смежные, поэтому в сумме дают \(180^\circ\). Пусть \(\angle 2=x\), тогда \(\angle 1=x+30^\circ\):
\[ x+(x+30^\circ)=180^\circ \] \[ 2x=150^\circ,\quad x=75^\circ \]
Значит, \(\angle 2=75^\circ\), \(\angle 1=105^\circ\). Вертикальные углы равны:
\[ \angle 3=\angle 1=105^\circ,\qquad \angle 4=\angle 2=75^\circ. \]
2. Треугольник и перпендикуляр.
Так как \(AK\perp AB\), то
\[ \angle KAB=90^\circ. \]
Луч \(AC\) лежит внутри этого прямого угла, потому что \(\angle BAC=45^\circ\). Следовательно,
\[ \angle KAC=90^\circ-45^\circ=45^\circ. \]
Длины \(7\) см и \(4\) см нужны для построения, на углы они не влияют.
3. Биссектриса и смежный угол.
\(AB=AC\), значит треугольник равнобедренный с основанием \(BC\).
Биссектриса \(AD\) делит угол \(A\) пополам:
\[ \angle BAD=\frac{40^\circ}{2}=20^\circ. \]
Луч \(AE\) является продолжением \(BA\) за точку \(A\), поэтому \(AE\) и \(AB\) — противоположные лучи. Углы \(\angle EAC\) и \(\angle BAC\) смежные:
\[ \angle EAC=180^\circ-40^\circ=140^\circ. \]
Проверка:
\(105+75+105+75=360^\circ\); \(45+45=90^\circ\); \(20+20=40^\circ\), \(140+40=180^\circ\). Всё сходится.
