Практические задания 1) Решите уравнения: 1. log√5(1 - 4x) = 4 2. log5(x² + 5x - 6) - log5(-20 - 4x) = 0

На фото несколько практических заданий. Ниже — краткие ответы и ключевые шаги для каждого, чтобы был понятен принцип решения похожих заданий.

Краткие ответы

1. Уравнения:

1. \(-6\)
2. \(-7\)
3. \(-10; 2\)
4. \(8; \frac{\sqrt{2}}{2}\)
5. \(14\)
6. \(6\)
7. \(-4\)
8. нет решений (при указанном на фото знаке «минус»)

2. Неравенства:

1. \(\left(\frac{14}{3}; +\infty\right)\)
2. \((4; +\infty)\)
3. \((2; 5)\)
4. \((1; 3)\)

3. Системы:

1. \((32; 2), (2; 32)\)
2. \((2; 5), (5; 2)\)

Ключевые шаги

1. Уравнения.

1. \(\log_{\sqrt5}(1-4x)=4\). ОДЗ: \(1-4x>0 \Rightarrow x<\frac14\). По определению логарифма: \(1-4x=(\sqrt5)^4=25\), откуда \(x=-6\). Проверка ОДЗ проходит.

2. \(\log_5(x^2+5x-6)-\log_5(-20-4x)=0\). ОДЗ: \(x^2+5x-6>0\) и \(-20-4x>0\). Второе даёт \(x<-5\), первое — \(x<-6\) или \(x>1\). Общее: \(x<-6\). Потенцируем: \(\frac{x^2+5x-6}{-20-4x}=1\). Тогда \(x^2+5x-6=-20-4x\), \(x^2+9x+14=0\), корни \(-2\) и \(-7\). ОДЗ \(x<-6\) проходит только \(-7\).

3. \(\log_2(x^2+8x+12)=5\). ОДЗ: \(x<-6\) или \(x>-2\). По определению: \(x^2+8x+12=32\), \(x^2+8x-20=0\), корни \(-10\) и \(2\). Оба в ОДЗ.

4. \(2\log_2^2 x - 5\log_2 x - 3=0\). ОДЗ: \(x>0\). Замена \(t=\log_2 x\): \(2t^2-5t-3=0\), \(t=3\) или \(t=-\frac12\). Тогда \(x=2^3=8\) или \(x=2^{-1/2}=\frac{\sqrt2}{2}\).

5. \(\log_{2x-9}(x+5)=1\). ОДЗ: \(2x-9>0\), \(2x-9\ne1\), \(x+5>0\), то есть \(x>4,5\), \(x\ne5\). По определению: \(x+5=2x-9\), откуда \(x=14\). Проверка: основание \(19>0\), аргумент \(19>0\).

6. \(\log_{\sqrt3}(x-3)+\log_{\sqrt3}(x-5)=2\). ОДЗ: \(x>5\). Сумма логарифмов: \(\log_{\sqrt3}((x-3)(x-5))=2\). Тогда \((x-3)(x-5)=(\sqrt3)^2=3\), \(x^2-8x+12=0\), корни \(2\) и \(6\). ОДЗ проходит только \(6\).

7. \(\log_2(x^2+x-6)-\log_2(-5x-14)=0\). ОДЗ: \(x<-3\) (из \(x^2+x-6>0\) и \(-5x-14>0\)). Потенцируем: \(x^2+x-6=-5x-14\), \(x^2+6x+8=0\), корни \(-2\) и \(-4\). ОДЗ проходит только \(-4\).

8. \(\log_{\sqrt{32}}(x+1)+\log_{\sqrt{32}}(-7-2x)=\frac25\). ОДЗ: \(x+1>0 \Rightarrow x>-1\) и \(-7-2x>0 \Rightarrow x<-3,5\). Эти условия несовместимы, поэтому решений нет. Если в оригинале опечатка и второй аргумент \(7-2x\), решение будет другим — сверь с книгой.

2. Неравенства.

1. \(\lg(3x-4)>1\). ОДЗ: \(x>\frac43\). Так как \(1=\lg10\), а функция \(\lg\) возрастает: \(3x-4>10\), \(x>\frac{14}{3}\). С учётом ОДЗ ответ \(\left(\frac{14}{3}; +\infty\right)\).

2. \(\lg(2x-3)>\lg(x+1)\). ОДЗ: \(x>1,5\). Основание 10 больше 1, знак сохраняется: \(2x-3>x+1\), \(x>4\). Ответ \((4; +\infty)\).

3. \(\log_{0,3}(2x-4)>\log_{0,3}(x+1)\). ОДЗ: \(x>2\). Основание \(0,3<1\), функция убывает, поэтому знак неравенства меняется: \(2x-4<x+1\), \(x<5\). С учётом ОДЗ: \(2<x<5\).

4. \(\lg x+\lg(x-1)<\lg6\). ОДЗ: \(x>1\). Сумма логарифмов: \(\lg(x(x-1))<\lg6\). Функция возрастает: \(x^2-x-6<0\), то есть \(-2<x<3\). С учётом ОДЗ: \(1<x<3\).

3. Системы.

1. \[ \begin{cases} \log_2 x+\log_2 y=6,\\ x+y=34. \end{cases} \] ОДЗ: \(x>0, y>0\). Первое уравнение: \(\log_2(xy)=6 \Rightarrow xy=64\). Значит, \(x\) и \(y\) — корни \(t^2-34t+64=0\). По теореме Виета \(t=32\) и \(t=2\). Ответ: \((32;2)\) и \((2;32)\).

2. \[ \begin{cases} x+y=7,\\ \lg x+\lg y=1. \end{cases} \] ОДЗ: \(x>0, y>0\). Второе: \(\lg(xy)=1 \Rightarrow xy=10\). \(x,y\) — корни \(t^2-7t+10=0\), то есть \(2\) и \(5\). Ответ: \((2;5)\) и \((5;2)\).

Что важно запомнить

• Сначала ОДЗ, потом преобразования.
• \(\log_a b=c \iff b=a^c\) (при \(a>0, a\ne1, b>0\)).
• При основании \(a<1\) знак неравенства меняется.
• Системы с \(\log x+\log y\) удобно сводить к сумме и произведению.

Проверка: подстановка найденных значений в исходные уравнения и неравенства (с учётом ОДЗ) подтверждает ответы.