343а
На фотографии нет номера 343 — судя по странице, это № 643, пункт а). Решаю его.
Краткий ответ: \(AB = 15\) см.
Ключевой шаг — свойство биссектрисы треугольника
Биссектриса \(BD\) делит угол \(B\) пополам, и из-за этого она делит противоположную сторону \(AC\) на части, пропорциональные прилежащим сторонам:
\[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \]
Подстановка и вычисление
\[ \frac{7{,}5}{4{,}5} = \frac{AB}{9} \quad\Rightarrow\quad AB = \frac{9 \cdot 7{,}5}{4{,}5} = \frac{67{,}5}{4{,}5} = 15 \text{ см} \]
Проверка
- Отношение отрезков: \(AD : DC = 7{,}5 : 4{,}5 = 5 : 3\).
- Отношение сторон: \(AB : BC = 15 : 9 = 5 : 3\). Совпало.
- Треугольник существует: \(AC = AD + DC = 12\) см, и \(15 < 9 + 12\) — неравенство треугольника выполнено.
Почему это работает и как действовать дальше
Чем больше сторона, прилежащая к углу, тем больший кусок биссектриса отсекает на противоположной стороне. В похожей задаче сначала записывай пропорцию «отрезок : отрезок = сторона : сторона», ставь в неё три известных числа и находи четвёртое. Если неизвестна сумма отрезков (как в № 645), сначала обозначь части через \(x\) и используй периметр или длину стороны.
Обсуждение
4 сообщениядано найти решение
Оформление для задачи 643, пункт а).
Дано:
\(\triangle ABC\),
\(BD\) — биссектриса угла \(ABC\),
\(BC=9\) см,
\(AD=7{,}5\) см,
\(DC=4{,}5\) см.
Найти:
\(AB\).
Решение:
По свойству биссектрисы треугольника:
\[
\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}.
\]
Подставим данные: \[ \frac{7{,}5}{4{,}5}=\frac{AB}{9}. \]
Отсюда: \[ AB=\frac{7{,}5\cdot 9}{4{,}5} =\frac{67{,}5}{4{,}5}=15 \text{ см}. \]
Ответ: \(AB=15\) см.
648
Задача 648
Дано:
\(\triangle ABC\): \(\angle A=90^\circ\), \(AC=1\) см, \(BC=2\) см;
\(\triangle DEF\): \(DE=3\sqrt{3}\) см, \(DF=6\) см, \(EF=3\) см.
Выяснить: подобны ли треугольники.
Решение:
В \(\triangle ABC\) по теореме Пифагора: \[ AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\text{ см}. \]
В \(\triangle DEF\) проверим теорему Пифагора: \[ DE^2+EF^2=(3\sqrt{3})^2+3^2=27+9=36=6^2=DF^2. \] Значит, по обратной теореме Пифагора \(\angle E=90^\circ\).
Найдём острые углы: \[ \sin\angle C=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \angle C=60^\circ,\quad \angle B=30^\circ; \] \[ \sin\angle F=\frac{DE}{DF}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \angle F=60^\circ,\quad \angle D=30^\circ. \]
Получаем: \[ \angle A=\angle E=90^\circ,\quad \angle B=\angle D=30^\circ,\quad \angle C=\angle F=60^\circ. \] Два угла одного треугольника равны двум углам другого, значит, треугольники подобны (первый признак подобия).
Проверим отношение сходственных сторон: \[ \frac{AB}{ED}=\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=\frac13,\qquad \frac{BC}{DF}=\frac{2}{6}=\frac13,\qquad \frac{AC}{EF}=\frac{1}{3}=\frac13. \] Все отношения равны, коэффициент подобия \(k=\frac13\).
Ответ: да, \(\triangle ABC\sim\triangle EDF\) с коэффициентом подобия \(\frac13\) (то есть стороны \(\triangle DEF\) в 3 раза больше соответствующих сторон \(\triangle ABC\)).
