Вариант 1 1. Найдите производную функции: а) y = 2eˣ + cos 3x; б) y = e²ˣ⁻⁵ · x³;

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 1

1. Найдите производную функции:
а) $y=2e^x+\cos 3x$;
б) $y=e^{2x-5}\cdot x^3$; [неразборчиво] г) $y=e^{\sqrt{x}}$.

2. Составьте уравнение касательной к графику функции $y=5x-3+e^{x-1}$ в точке с абсциссой, равной 1.

3. Найдите точки экстремума функции $y=e^{-x}x^4$.

С-29 Дифференцирование показательной функции
Вариант 3

1. Найдите производную функции:
а) $y=e^x-\mathrm{tg}\,2x$; [неразборчиво]
б) $y=\frac{3\sqrt[3]{x}}{e^{3x}}$; г) $y=e^{\mathrm{ctg}\,x}$.

2. Касательная к графику функции $y=5x-4e^{2x}$ параллельна прямой $y=-3x+4$. Найдите абсциссу точки касания.

3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y=e^{-2x}x^3$.

Answer

На фото видны два варианта — 1 и 3. Решаю оба. Пункт в) в обоих вариантах закрыт красным прямоугольником, поэтому его условие не видно и я его не восстанавливаю. Вариант 1 1. Производные а) $$ y'=(2e^x)'+(\cos 3x)'=2e^x-3\sin 3x. $$ б) Здесь произведение: $$ y'=2e^{2x-5}x^3+3x^2e^{2x-5} =x^2e^{2x-5}(2x+3). $$ г) Сложная функция: $$ y'=e^{\sqrt x}\cdot \frac{1}{2\sqrt x} =\frac{e^{\sqrt x}}{2\sqrt x},\qquad x>0. $$ 2. Касательная В точке $x_0=1$: $$ y_0=5\cdot 1-3+e^{0}=3. $$ Производная: $$ y'=5+e^{x-1},\qquad y'(1)=5+1=6. $$ Уравнение касательной: $$ y=3+6(x-1)=6x-3. $$ Ответ: $y=6x-3$. 3. Точки экстремума $$ y=e^{-x}x^4, $$ $$ y'=-e^{-x}x^4+4e^{-x}x^3 =e^{-x}x^3(4-x). $$ Критические точки: $x=0$ и $x=4$. при $x<0$ производная отрицательна; при $04$ отрицательна. Значит: $$ x_{\min}=0,\qquad y(0)=0; $$ $$ x_{\max}=4,\qquad y(4)=e^{-4}\cdot 4^4=\frac{256}{e^4}. $$ Ответ: минимум в точке $(0;0)$, максимум в точке $\left(4;\dfrac{256}{e^4}\right)$. Вариант 3 1. Производные а) $$ y'=e^x-\frac{2}{\cos^2 2x}. $$ б) $$ y=\frac{3\sqrt[3]{x}}{e^{3x}}=3x^{1/3}e^{-3x}. $$ Тогда $$ y'=e^{-3x}\left(x^{-2/3}-9x^{1/3}\right) =\frac{(1-9x)e^{-3x}}{\sqrt[3]{x^2}},\qquad x\ne0. $$ г) $$ y=e^{\mathrm{ctg}\,x}, $$ $$ y'=e^{\mathrm{ctg}\,x}\cdot\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) =-\frac{e^{\mathrm{ctg}\,x}}{\sin^2 x}. $$ 2. Абсцисса точки касания Угловой коэффициент касательной: $$ y'=5-8e^{2x}. $$ Прямая $y=-3x+4$ имеет угловой коэффициент $-3$. Касательная параллельна ей, значит: $$ 5-8e^{2x}=-3, $$ $$ 8e^{2x}=8, $$ $$ e^{2x}=1, $$ $$ 2x=0,\qquad x=0. $$ Ответ: $0$. 3. Промежутки возрастания и убывания $$ y=e^{-2x}x^3, $$ $$ y'=-2e^{-2x}x^3+3e^{-2x}x^2 =e^{-2x}x^2(3-2x). $$ Так как $e^{-2x}x^2\ge 0$, знак производной определяется множителем $3-2x$: $$ y'>0 \quad \text{при } x<\frac32, $$ $$ y'<0 \quad \text{при } x>\frac32. $$ При $x=0$ производная равна нулю, но знак не меняется, поэтому экстремума там нет. Ответ: функция возрастает на $\left(-\infty;\dfrac32\right]$, убывает на $\left[\dfrac32;+\infty\right)$. Главное правило: для сложной показательной функции $$ (e^{u})'=e^{u}u', $$ а касательная задаётся формулой $$ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). $$ Для экстремумов и промежутков монотонности нужно смотреть на знак производной.