1. Для каждого из двух наборов чисел вычислите среднее арифметическое, дисперсию, стандартное отклонение и сравните их:

На листе три номера; ниже — решения каждого. Использую школьное определение: \[ \bar x=\frac{x_1+\dots+x_n}{n},\qquad D=\frac{(x_1-\bar x)^2+\dots+(x_n-\bar x)^2}{n},\qquad \sigma=\sqrt D. \]

Краткий ответ

1. а) для набора \(3,7,10,11,19\):
   \(\bar x=10,\ D=28,\ \sigma\approx5{,}29\);
   для набора \(10,11,15,17,22\):
   \(\bar x=15,\ D=18{,}8,\ \sigma\approx4{,}34\).
   У второго набора среднее больше, но разброс меньше.

   б) для набора \(1,3,5,7,9\):
   \(\bar x=5,\ D=8,\ \sigma\approx2{,}83\);
   для набора \(2,4,6,8,10\):
   \(\bar x=6,\ D=8,\ \sigma\approx2{,}83\).
   Разброс одинаковый, второе среднее больше на \(1\).

2. Размах \(=3\),
   \(D=\frac{716}{841}\approx0{,}85,\quad \sigma\approx0{,}92\).

3. а) \(\bar x=5,\quad D=10{,}5,\quad \sigma\approx3{,}24\).
   б) Витя, Оля, Петя.

Как это получается

1. Два набора чисел

Для первого набора из пункта 1а: \[ 3+7+10+11+19=50,\qquad \bar x=\frac{50}{5}=10. \] Квадраты отклонений: \[ (3-10)^2+(7-10)^2+(10-10)^2+(11-10)^2+(19-10)^2 \] \[ =49+9+0+1+81=140. \] Значит, \[ D=\frac{140}{5}=28,\qquad \sigma=\sqrt{28}\approx5{,}29. \]

Остальные наборы считаются так же:

В пункте 1б второй набор получается из первого прибавлением \(1\) к каждому числу. Поэтому среднее выросло с \(5\) до \(6\), а дисперсия и стандартное отклонение не изменились: разброс остался тем же.

2. Отметки за контрольную

Сначала найдём общее число учеников: \[ N=2+8+10+9=29. \] Средняя отметка: \[ \bar x=\frac{2\cdot2+3\cdot8+4\cdot10+5\cdot9}{29} =\frac{113}{29}\approx3{,}90. \]

Размах: \[ 5-2=3. \]

Дисперсия: \[ D=\frac{2\cdot2^2+8\cdot3^2+10\cdot4^2+9\cdot5^2}{29} -\left(\frac{113}{29}\right)^2 =\frac{716}{841}\approx0{,}85. \] Стандартное отклонение: \[ \sigma=\sqrt{\frac{716}{841}}\approx0{,}92. \]

3. Прочитанные книги

Числа книг: \[ 8,\ 10,\ 6,\ 1,\ 0,\ 7,\ 5,\ 3. \] Их сумма: \[ 8+10+6+1+0+7+5+3=40. \] Среднее: \[ \bar x=\frac{40}{8}=5. \]

Квадраты отклонений от среднего: \[ 3^2+5^2+1^2+(-4)^2+(-5)^2+2^2+0^2+(-2)^2=84. \] Значит, \[ D=\frac{84}{8}=10{,}5, \qquad \sigma=\sqrt{10{,}5}\approx3{,}24. \]

Теперь сравниваем \(|x_i-5|\) с числом \(3{,}24\):

Строго больше \(3{,}24\) только у Вити, Оли и Пети. Значит, ответ: Витя, Оля, Петя.

Главный принцип: дисперсия показывает средний квадрат отклонения чисел от среднего, а стандартное отклонение — примерно типичное отклонение в тех же единицах, что и сами данные. Проверка: во всех пунктах \(\sigma^2=D\).